Vamos resolver a equação diferencial dada e encontrar a velocidade do bote após 0,5 minutos (30 segundos). A equação que temos é: \[ \frac{dv}{dt} + 0,13v = \frac{1}{2} \] Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, podemos usar o método do fator integrante. 1. Encontrar o fator integrante: O fator integrante \( \mu(t) \) é dado por: \[ \mu(t) = e^{\int 0,13 dt} = e^{0,13t} \] 2. Multiplicar a equação pela fator integrante: \[ e^{0,13t} \frac{dv}{dt} + 0,13 e^{0,13t} v = \frac{1}{2} e^{0,13t} \] A parte esquerda pode ser reescrita como a derivada do produto: \[ \frac{d}{dt}(e^{0,13t} v) = \frac{1}{2} e^{0,13t} \] 3. Integrar ambos os lados: \[ \int \frac{d}{dt}(e^{0,13t} v) dt = \int \frac{1}{2} e^{0,13t} dt \] A integral do lado direito é: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0,13} e^{0,13t} + C = \frac{5}{13} e^{0,13t} + C \] 4. Igualar e resolver para \( v \): \[ e^{0,13t} v = \frac{5}{13} e^{0,13t} + C \] Dividindo ambos os lados por \( e^{0,13t} \): \[ v = \frac{5}{13} + Ce^{-0,13t} \] 5. Condições iniciais: No instante inicial \( t = 0 \), a velocidade do barco é de 12 nós (aproximadamente 6,17 m/s). Portanto: \[ 6,17 = \frac{5}{13} + C \] Resolvendo para \( C \): \[ C = 6,17 - \frac{5}{13} \approx 6,17 - 0,3846 \approx 5,7854 \] 6. Encontrar a velocidade após 30 segundos: Agora, substituímos \( t = 30 \) segundos (ou 0,5 minutos): \[ v(30) = \frac{5}{13} + 5,7854 e^{-0,13 \cdot 30} \] Calculando \( e^{-3,9} \) (aproximadamente 0,0205): \[ v(30) \approx \frac{5}{13} + 5,7854 \cdot 0,0205 \approx 0,3846 + 0,1185 \approx 0,5031 \text{ m/s} \] Parece que houve um erro na interpretação da questão, pois a velocidade não se aproxima de nenhuma das alternativas dadas. Vamos revisar as opções: A) 1 m/s B) 4,5 m/s C) 4,2 m/s D) 2,5 m/s E) 3,2 m/s Com base na análise, a resposta correta não está entre as opções. Você pode precisar revisar os cálculos ou a interpretação do problema. Se precisar de mais ajuda, crie uma nova pergunta!