Para resolver essa questão, vamos usar a relação entre as áreas do triângulo e do paralelogramo formado pelos segmentos PM e PN. Sabemos que a área do paralelogramo AMPN é igual a \( \frac{3}{8} \) da área do triângulo ABC. Como PM e PN são paralelos aos lados AC e AB, respectivamente, isso implica que o triângulo APN é semelhante ao triângulo ABC. A relação entre as áreas de triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão entre os lados correspondentes. Se a área do paralelogramo AMPN é \( \frac{3}{8} \) da área do triângulo ABC, podemos deduzir que a razão entre as alturas (ou bases) do triângulo ABC e do triângulo APN é a raiz quadrada da razão das áreas. Assim, temos: \[ \frac{Área_{AMPN}}{Área_{ABC}} = \left(\frac{BP}{BC}\right)^2 \] Substituindo os valores: \[ \frac{3}{8} = \left(\frac{BP}{4}\right)^2 \] Resolvendo para \( BP \): \[ \left(\frac{BP}{4}\right)^2 = \frac{3}{8} \] \[ \frac{BP}{4} = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \] Multiplicando ambos os lados por 4: \[ BP = \sqrt{6} \] Portanto, o maior valor possível para a medida de \( BP \) é: d) \( \sqrt{6} \)