Para mostrar que a função \( f : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x, y) = \langle x, y \rangle \) é diferenciável, podemos usar a definição de diferenciabilidade. A função é diferenciável se existe uma linearização que se aproxima da função em torno de um ponto. 1. Diferenciabilidade de \( f \): A função \( f(x, y) \) é diferenciável em \( (x_0, y_0) \) se existe uma função linear \( L(v, w) \) tal que: \[ f(x_0 + v, y_0 + w) - f(x_0, y_0) = L(v, w) + o(\|(v, w)\|) \] onde \( o(\|(v, w)\|) \) é um termo que tende a zero mais rápido que \( \|(v, w)\| \) quando \( (v, w) \) tende a zero. Calculando: \[ f(x_0 + v, y_0 + w) = \langle x_0 + v, y_0 + w \rangle = \langle x_0, y_0 \rangle + \langle v, y_0 \rangle + \langle x_0, w \rangle + \langle v, w \rangle \] Assim, temos: \[ f(x_0 + v, y_0 + w) - f(x_0, y_0) = \langle v, y_0 \rangle + \langle x_0, w \rangle + \langle v, w \rangle \] O termo \( \langle v, w \rangle \) é de ordem superior, então podemos definir: \[ L(v, w) = \langle v, y_0 \rangle + \langle x_0, w \rangle \] Portanto, \( f \) é diferenciável. 2. Diferencial \( df(x, y) \): O diferencial \( df(x, y) \cdot (v, w) \) é dado por: \[ df(x, y) \cdot (v, w) = \langle v, y \rangle + \langle x, w \rangle \] 3. Generalização para uma forma bilinear \( \phi : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \): Se \( \phi(x, y) \) é uma forma bilinear, a abordagem é similar. A linearização será: \[ d\phi(x_0, y_0) \cdot (v, w) = \phi(v, y_0) + \phi(x_0, w) \] 4. Generalização para uma função \( \psi : \mathbb{R}^{m_1} \times \cdots \times \mathbb{R}^{m_k} \to \mathbb{R} \) k-linear: Para uma função k-linear, o diferencial será uma soma das contribuições de cada variável: \[ d\psi(x_1, \ldots, x_k) \cdot (v_1, \ldots, v_k) = \sum_{i=1}^{k} \psi(x_1, \ldots, x_{i-1}, v_i, x_{i+1}, \ldots, x_k) \] 5. Diferencial da função determinante: O determinante é uma função multilinear e alternada. O diferencial do determinante em uma matriz \( A \) é dado por: \[ d(\det A) = \det(A) \cdot \text{tr}(A^{-1} dA) \] onde \( dA \) é a variação da matriz \( A \). Esses passos mostram a diferenciabilidade e a forma do diferencial para as funções mencionadas. Se precisar de mais detalhes ou exemplos, é só avisar!