Seja f : R× [0, 1) → R definida por f(x, y) = (x2 + y2)(1− ye|x|). Para cada x ∈ R, existe um único y = ϕ(x) ∈ [0, 1) tal que f(x, y) = 0, mas a função ϕ : R → [0, 1), assim definida, não é contínua.
Prove que ϕ não é contínua devido à descontinuidade em x = 0.

Question

Seja f : R× [0, 1) → R definida por f(x, y) = (x2 + y2)(1− ye|x|). Para cada x ∈ R, existe um único y = ϕ(x) ∈ [0, 1) tal que f(x, y) = 0, mas a fu...

Ed · Answer

Para provar que a função $ \phi $ não é contínua em $ x = 0 $, vamos analisar a função $ f(x, y) = (x^2 + y^2)(1 - ye^{|x|}) $.

1. **Análise de $ f(x, y) = 0 $**:
   - A função $ f(x, y) = 0 $ se satisfaz quando $ (x^2 + y^2) = 0 $ ou $ (1 - ye^{|x|}) = 0 $.
   - A primeira condição, $ x^2 + y^2 = 0 $, implica que $ x = 0 $ e $ y = 0 $.
   - A segunda condição, $ 1 - ye^{|x|} = 0 $, implica que $ y = \frac{1}{e^{|x|}} $.

2. **Comportamento de $ \phi(x) $**:
   - Para $ x \neq 0 $, temos $ \phi(x) = \frac{1}{e^{|x|}} $.
   - Para $ x = 0 $, temos $ \phi(0) = 0 $.

3. **Verificação da continuidade em $ x = 0 $**:
   - Para que $ \phi $ seja contínua em $ x = 0 $, precisamos que $ \lim_{x \to 0} \phi(x) = \phi(0) $.
   - Calculando o limite:
     $$
     \lim_{x \to 0} \phi(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{|x|}} = \frac{1}{e^0} = 1.
     $$
   - Como $ \phi(0) = 0 $, temos que $ \lim_{x \to 0} \phi(x) \neq \phi(0) $.

4. **Conclusão**:
   - Portanto, a função $ \phi $ não é contínua em $ x = 0 $ porque o limite não coincide com o valor da função nesse ponto.

Assim, provamos que $ \phi $ não é contínua em $ x = 0 $.

Análise Matemática

Solução Curso de Análise volume 2 capitulo 1

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Se E ⊂ Rn é um subespaço de dimensão m, sua dimensão complementar é n−m.
Existem n−m funcionais lineares f1, f2, . . . , fn−m : Rn → R tais que: E = {x ∈ Rn | f1(x) = f2(x) = · · · = fn−m(x) = 0}.

Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

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Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.

Se A é ortogonal então det(A) = ±1.

Dados os números reais a, b, c, a fim de que exista em R2 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = a, ⟨e1, e2⟩ = ⟨e2, e1⟩ = b e ⟨e2, e2⟩ = c, é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2.

Existe em R3 um produto interno tal que ⟨e1, e1⟩ = 2, ⟨e2, e2⟩ = 3, ⟨e3, e3⟩ = 4, ⟨e1, e2⟩ = 0 e ⟨e2, e3⟩ = ⟨e1, e3⟩ = 1.

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Seja {u1, u2, . . . , ur} ⊂ Rn um conjunto ortonormal, ou seja, ⟨uj , uj⟩ = 1 e ⟨ui, uj⟩ = 0 para i ̸= j.
Prove que: (a) Todo conjunto ortonormal é parte de uma base ortonormal.

Seja {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de Rn.
Queremos mostrar que para todo x ∈ Rn, vale: x = n∑ i=1 ⟨x, ui⟩ui.

Dada uma aplicação linear A : Rm → Rn, existe uma única aplicação linear A∗ : Rn → Rm, chamada a adjunta de A.
Prove que ⟨Ax, y⟩ = ⟨x,A∗y⟩ para quaisquer x ∈ Rm, y ∈ Rn.

Uma aplicação linear A : Rn → Rn diz-se simétrica quando A = A∗, onde A∗ é a transposta de A.
Prove que: 1. O conjunto S das aplicações lineares simétricas constitui um subespaço vetorial de dimensão n(n+1)/2 em L(Rn;Rn).

Toda aplicação linear A se escreve, de modo único, como soma de uma aplicação simétrica com uma anti-simétrica.
Prove que isto é, L(Rn;Rn) = S ⊕ T.