Determine O valor de 'a', sabendo que O vetor = (a,-1/3) é um vetor unitário. A a = 2/3 B a = 8/9 = C a = 1/4 D a = 3/5 E a = 8/9

Para que um vetor seja unitário, seu módulo deve ser igual a 1. O vetor dado é \( \mathbf{v} = (a, -\frac{1}{3}) \). O módulo do vetor é calculado pela fórmula: \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{a^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2} \] Igualando o módulo a 1, temos: \[ \sqrt{a^2 + \frac{1}{9}} = 1 \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ a^2 + \frac{1}{9} = 1 \] Subtraindo \(\frac{1}{9}\) de ambos os lados: \[ a^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Agora, tirando a raiz quadrada: \[ a = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Como estamos buscando o valor de \(a\) que está nas opções, a única que se encaixa é: A opção correta é: a = \frac{2\sqrt{2}}{3}. Entretanto, como essa opção não está listada, vamos verificar as opções dadas: A) \( a = \frac{2}{3} \) B) \( a = \frac{8}{9} \) C) \( a = \frac{1}{4} \) D) \( a = \frac{3}{5} \) E) \( a = \frac{8}{9} \) Nenhuma das opções corresponde ao resultado encontrado. Você precisa criar uma nova pergunta ou verificar as opções.