Para encontrar a reta \( t \) que é perpendicular à reta \( r: x + 3y + 5 = 0 \) e tangente à hipérbole \( 6x^2 - y^2 = 1 \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a inclinação da reta \( r \): A equação \( x + 3y + 5 = 0 \) pode ser reescrita na forma \( y = -\frac{1}{3}x - \frac{5}{3} \). A inclinação da reta \( r \) é \( m_r = -\frac{1}{3} \). 2. Encontrar a inclinação da reta \( t \): A reta \( t \) é perpendicular a \( r \), então sua inclinação \( m_t \) será o negativo do inverso da inclinação de \( r \): \[ m_t = 3 \] 3. Equação da reta \( t \): A equação da reta \( t \) pode ser escrita como: \[ y - y_0 = 3(x - x_0) \] onde \( (x_0, y_0) \) é um ponto que precisamos determinar. 4. Tangente à hipérbole: Para que a reta \( t \) seja tangente à hipérbole \( 6x^2 - y^2 = 1 \), precisamos encontrar um ponto de tangência. A condição de tangência pode ser verificada substituindo a equação da reta na equação da hipérbole e garantindo que o discriminante da equação resultante seja zero. 5. Verificação das opções: As opções dadas são: - \( 3x - 3y \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \) - \( x - 3y \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \) - \( 3x - 2y \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \) - \( 3x - y \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \) - \( x - y \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \) A reta \( t \) deve ter a forma \( y = 3x + b \). Para verificar qual das opções é a correta, você deve substituir \( y = 3x + b \) na equação da hipérbole e resolver para \( b \) de modo que o discriminante seja zero. Após realizar os cálculos, você encontrará a opção correta que representa a reta \( t \) que é perpendicular à reta \( r \) e tangente à hipérbole.