Os gráficos de y = x² e y = 1/x se intersectam no ponto P (1, 1).
Ache a equação da reta tangente de cada uma de estas curvas neste ponto. Estas retas se intersectam formando um ângulo reto? O mesmo para as curvas y = √x e y = 1/x² que se intersectam no ponto P (1, 1).

Question

Os gráficos de y = x² e y = 1/x se intersectam no ponto P (1, 1).
Ache a equação da reta tangente de cada uma de estas curvas neste ponto. Estas re...

Ed · Answer

Para encontrar a equação da reta tangente de cada uma das curvas no ponto P(1, 1), precisamos calcular a derivada de cada função e avaliar a derivada no ponto.

1. **Para a curva $y = x^2$**:
   - A derivada é $y' = 2x$.
   - Avaliando no ponto $x = 1$: $y'(1) = 2(1) = 2$.
   - A equação da reta tangente é dada por $y - y_0 = m(x - x_0)$, onde $m$ é a inclinação e $(x_0, y_0)$ é o ponto de tangência.
   - Portanto, a equação da reta tangente é:
     $$
     y - 1 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 1.
     $$

2. **Para a curva $y = \frac{1}{x}$**:
   - A derivada é $y' = -\frac{1}{x^2}$.
   - Avaliando no ponto $x = 1$: $y'(1) = -1$.
   - A equação da reta tangente é:
     $$
     y - 1 = -1(x - 1) \implies y = -x + 2.
     $$

Agora, temos as duas retas tangentes:
- Para $y = x^2$: $y = 2x - 1$.
- Para $y = \frac{1}{x}$: $y = -x + 2$.

**Verificando se as retas se intersectam formando um ângulo reto**:
- As retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for $-1$.
- Inclinação da reta tangente de $y = x^2$ é $2$ e da reta tangente de $y = \frac{1}{x}$ é $-1$.
- O produto é $2 \cdot (-1) = -2$, portanto, não se intersectam formando um ângulo reto.

---

**Agora, para as curvas $y = \sqrt{x}$ e $y = \frac{1}{x^2}$**:

1. **Para a curva $y = \sqrt{x}$**:
   - A derivada é $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
   - Avaliando no ponto $x = 1$: $y'(1) = \frac{1}{2}$.
   - A equação da reta tangente é:
     $$
     y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.
     $$

2. **Para a curva $y = \frac{1}{x^2}$**:
   - A derivada é $y' = -\frac{2}{x^3}$.
   - Avaliando no ponto $x = 1$: $y'(1) = -2$.
   - A equação da reta tangente é:
     $$
     y - 1 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 3.
     $$

**Verificando se as retas se intersectam formando um ângulo reto**:
- Inclinação da reta tangente de $y = \sqrt{x}$ é $\frac{1}{2}$ e da reta tangente de $y = \frac{1}{x^2}$ é $-2$.
- O produto é $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$, portanto, essas retas se intersectam formando um ângulo reto.

Resumindo:
- As retas tangentes em $P(1, 1)$ para $y = x^2$ e $y = \frac{1}{x}$ não formam ângulo reto.
- As retas tangentes em $P(1, 1)$ para $y = \sqrt{x}$ e $y = \frac{1}{x^2}$ formam ângulo reto.

Cálculo

Lista 09 de Exercícios de Calculo 1

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