O estudo da reta tangente foi a motivação do estudioso Leibniz e é importante para o entendimento da derivada. Tangenciar é tocar uma curva em apenas

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O estudo da reta tangente foi a motivação do estudioso Leibniz e é importante para o entendimento da derivada. Tangenciar é tocar uma curva em apenas um ponto. Para defini-la, precisamos saber o ponto em que a reta vai tocar a curva e o seu coeficiente angular.Assinale a alternativa CORRETA, que apresenta a equação da reta tangente à função f(x) = 1/x, no ponto x = 1/2: A) y = -4x + 4. B) y = x/4 - 1. C) y = -x/4 + 1. D) y = 4x - 4.

Ed · Answer

Para encontrar a equação da reta tangente à função $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto $ x = \frac{1}{2} $, precisamos seguir alguns passos:

1. **Encontrar o valor da função no ponto**:
   $$
   f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
   $$
   Portanto, o ponto de tangência é $ \left(\frac{1}{2}, 2\right) $.

2. **Calcular a derivada da função**:
   A derivada de $ f(x) = \frac{1}{x} $ é:
   $$
   f'(x) = -\frac{1}{x^2}
   $$

3. **Encontrar a derivada no ponto $ x = \frac{1}{2} $**:
   $$
   f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4
   $$
   O coeficiente angular da reta tangente é -4.

4. **Usar a fórmula da reta tangente**:
   A equação da reta tangente pode ser escrita como:
   $$
   y - f(a) = f'(a)(x - a)
   $$
   Substituindo $ a = \frac{1}{2} $, $ f(a) = 2 $ e $ f'(a) = -4 $:
   $$
   y - 2 = -4\left(x - \frac{1}{2}\right)
   $$
   Simplificando:
   $$
   y - 2 = -4x + 2 \implies y = -4x + 4
   $$

Portanto, a equação da reta tangente à função $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto $ x = \frac{1}{2} $ é:
**A) y = -4x + 4.**

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