Calcule a derivada da função f(x)= raiz x²-1/x³

Para calcular a derivada da função \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^3} \), vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia. 1. Identifique \( u \) e \( v \): - \( u = \sqrt{x^2 - 1} \) - \( v = x^3 \) 2. Calcule as derivadas \( u' \) e \( v' \): - Para \( u \): \[ u' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \] - Para \( v \): \[ v' = 3x^2 \] 3. Aplique a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Substituindo os valores: \[ f'(x) = \frac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)(x^3) - \left(\sqrt{x^2 - 1}\right)(3x^2)}{(x^3)^2} \] 4. Simplifique: \[ f'(x) = \frac{x^4}{\sqrt{x^2 - 1} \cdot x^6} - \frac{3x^2\sqrt{x^2 - 1}}{x^6} \] \[ f'(x) = \frac{x^4 - 3x^2(x^2 - 1)}{x^6\sqrt{x^2 - 1}} \] \[ f'(x) = \frac{x^4 - 3x^4 + 3x^2}{x^6\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{-2x^4 + 3x^2}{x^6\sqrt{x^2 - 1}} \] 5. Resultado final: \[ f'(x) = \frac{3x^2 - 2x^4}{x^6\sqrt{x^2 - 1}} \] Essa é a derivada da função \( f(x) \). Se precisar de mais ajuda, é só avisar!