Resolva a equação: $\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x=2$.

Para resolver a equação \(\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = 2\), podemos usar a relação entre as funções tangente e cotangente. Sabemos que \(\operatorname{cotg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}\). Assim, podemos reescrever a equação: \[ \operatorname{tg} x + \frac{1}{\operatorname{tg} x} = 2 \] Seja \(y = \operatorname{tg} x\). A equação se torna: \[ y + \frac{1}{y} = 2 \] Multiplicando ambos os lados por \(y\) (considerando \(y \neq 0\)): \[ y^2 + 1 = 2y \] Rearranjando a equação, temos: \[ y^2 - 2y + 1 = 0 \] Isso pode ser fatorado como: \[ (y - 1)^2 = 0 \] Portanto, \(y - 1 = 0\) implica que \(y = 1\). Voltando à tangente, temos: \[ \operatorname{tg} x = 1 \] A tangente é igual a 1 em: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Assim, a solução da equação \(\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = 2\) é: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]