Calcule o valor de $\operatorname{sen}\left(2 \u000b\cdot \u000b\operatorname{arcsen}\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$

Para calcular o valor de \(\operatorname{sen}\left(2 \cdot \operatorname{arcsen}\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\), podemos usar a fórmula do seno do ângulo duplo: \[ \operatorname{sen}(2\theta) = 2 \cdot \operatorname{sen}(\theta) \cdot \operatorname{cos}(\theta) \] onde \(\theta = \operatorname{arcsen}\left(-\frac{4}{5}\right)\). 1. Encontrar \(\operatorname{sen}(\theta)\): \[ \operatorname{sen}(\theta) = -\frac{4}{5} \] 2. Encontrar \(\operatorname{cos}(\theta)\) usando a relação \(\operatorname{sen}^2(\theta) + \operatorname{cos}^2(\theta) = 1\): \[ \operatorname{cos}^2(\theta) = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Portanto, \(\operatorname{cos}(\theta) = \pm \frac{3}{5}\). Como \(\theta = \operatorname{arcsen}\left(-\frac{4}{5}\right)\) está no quarto quadrante, temos: \[ \operatorname{cos}(\theta) = \frac{3}{5} \] 3. Aplicar na fórmula do seno do ângulo duplo: \[ \operatorname{sen}(2\theta) = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) = 2 \cdot -\frac{12}{25} = -\frac{24}{25} \] Portanto, o valor de \(\operatorname{sen}\left(2 \cdot \operatorname{arcsen}\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\) é \(-\frac{24}{25}\).