Determine para que valores de $m$ existe $x$, tal que $\operatorname{sen}(x)=\frac{3 m-1}{4}$.

Para que a equação \(\operatorname{sen}(x) = \frac{3m - 1}{4}\) tenha soluções, o valor de \(\frac{3m - 1}{4}\) deve estar no intervalo de valores que a função seno pode assumir, que é de \(-1\) a \(1\). Portanto, precisamos resolver as seguintes desigualdades: 1. \(\frac{3m - 1}{4} \geq -1\) 2. \(\frac{3m - 1}{4} \leq 1\) Vamos resolver cada uma: 1. Para \(\frac{3m - 1}{4} \geq -1\): \[ 3m - 1 \geq -4 \\ 3m \geq -3 \\ m \geq -1 \] 2. Para \(\frac{3m - 1}{4} \leq 1\): \[ 3m - 1 \leq 4 \\ 3m \leq 5 \\ m \leq \frac{5}{3} \] Assim, os valores de \(m\) que satisfazem ambas as condições são: \[ -1 \leq m \leq \frac{5}{3} \] Portanto, \(m\) deve estar no intervalo \([-1, \frac{5}{3}]\).