A questão apresenta uma sequência definida por \( x_1 = 1 \) e \( x_{n+1} = 2 + \frac{1}{x_n} \). Vamos analisar cada uma das sentenças: I. (P) é uma sequência limitada. Para verificar se a sequência é limitada, precisamos observar seu comportamento. A sequência parece estar crescendo, pois \( x_{n+1} = 2 + \frac{1}{x_n} \) sugere que, à medida que \( n \) aumenta, \( x_n \) tende a se estabilizar em um valor. No entanto, não é imediatamente claro se ela é limitada sem mais análise. II. (P) é uma sequência de Cauchy. Uma sequência é de Cauchy se, para todo \( \epsilon > 0 \), existe um \( N \) tal que para todos \( m, n > N \), temos \( |x_m - x_n| < \epsilon \). Se a sequência é convergente, ela também é de Cauchy. Precisamos verificar se a sequência converge. III. (P) é uma sequência convergente. Para determinar a convergência, podemos tentar encontrar um limite \( L \) tal que \( L = 2 + \frac{1}{L} \). Resolvendo essa equação, obtemos \( L^2 - 2L - 1 = 0 \), que tem soluções \( L = 1 \pm \sqrt{2} \). Como estamos lidando com uma sequência que começa em 1 e parece crescer, o limite relevante é \( L = 1 + \sqrt{2} \). Agora, considerando as análises: - A sequência parece não ser limitada, pois tende a crescer sem um limite superior. - A sequência é convergente, pois converge para \( 1 + \sqrt{2} \). - Como a sequência é convergente, ela também é de Cauchy. Portanto, as sentenças verdadeiras são II e III. A alternativa correta que contém todas as sentenças verdadeiras é: c) II e III.