Para encontrar o ângulo entre os vetores \( \mathbf{a} = (2, -1, 3) \) e \( \mathbf{b} = (4, 5, -2) \), podemos usar a fórmula do produto escalar e a relação entre o produto escalar e o cosseno do ângulo \( \theta \) entre os vetores: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \] 1. Calculando o produto escalar \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 + 3 \cdot (-2) = 8 - 5 - 6 = -3 \] 2. Calculando as magnitudes dos vetores: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45} \] 3. Substituindo na fórmula: \[ -3 = \sqrt{14} \cdot \sqrt{45} \cdot \cos(\theta) \] \[ \cos(\theta) = \frac{-3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{45}} \] 4. Calculando \( \sqrt{14} \cdot \sqrt{45} \): \[ \sqrt{14} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{630} \] 5. Calculando \( \cos(\theta) \): \[ \cos(\theta) = \frac{-3}{\sqrt{630}} \approx -0,119 \] 6. Encontrando o ângulo \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}(-0,119) \approx 103,5° \] No entanto, como a pergunta pede o ângulo entre os vetores, devemos considerar o valor absoluto do cosseno, pois o ângulo entre dois vetores é sempre considerado entre 0° e 180°. Agora, vamos verificar as opções dadas: a. 70,1° b. 74,9° c. 74,3° d. 72,4° e. 73,3° Parece que houve um erro nos cálculos ou nas opções, pois o ângulo calculado não corresponde a nenhuma das alternativas. Você pode verificar os cálculos ou as opções novamente?