Para encontrar o valor de \( x \) na 6ª iteração do método da bissecção para a função \( f(x) = x^3 - x - 1 \) no intervalo \([1, 2]\), vamos seguir os passos do método: 1. Definindo o intervalo inicial: \( a = 1 \) e \( b = 2 \). 2. Calculando o ponto médio: \( x_m = \frac{a + b}{2} \). 3. Verificando o sinal da função: Se \( f(a) \cdot f(x_m) < 0 \), a raiz está no intervalo \([a, x_m]\); caso contrário, está em \([x_m, b]\). Vamos calcular as iterações: - Iteração 1: - \( x_m = \frac{1 + 2}{2} = 1.5 \) - \( f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 \) - \( f(1.5) = (1.5)^3 - 1.5 - 1 = 0.375 \) - Como \( f(1) < 0 \) e \( f(1.5) > 0 \), a nova bissecção é \([1, 1.5]\). - Iteração 2: - \( x_m = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25 \) - \( f(1.25) = (1.25)^3 - 1.25 - 1 = -0.078125 \) - Como \( f(1.25) < 0 \), a nova bissecção é \([1.25, 1.5]\). - Iteração 3: - \( x_m = \frac{1.25 + 1.5}{2} = 1.375 \) - \( f(1.375) = (1.375)^3 - 1.375 - 1 = 0.185547 \) - Como \( f(1.25) < 0 \) e \( f(1.375) > 0 \), a nova bissecção é \([1.25, 1.375]\). - Iteração 4: - \( x_m = \frac{1.25 + 1.375}{2} = 1.3125 \) - \( f(1.3125) = (1.3125)^3 - 1.3125 - 1 = 0.052734 \) - Como \( f(1.25) < 0 \) e \( f(1.3125) > 0 \), a nova bissecção é \([1.25, 1.3125]\). - Iteração 5: - \( x_m = \frac{1.25 + 1.3125}{2} = 1.28125 \) - \( f(1.28125) = (1.28125)^3 - 1.28125 - 1 = -0.013916 \) - Como \( f(1.28125) < 0 \), a nova bissecção é \([1.28125, 1.3125]\). - Iteração 6: - \( x_m = \frac{1.28125 + 1.3125}{2} = 1.296875 \) - \( f(1.296875) = (1.296875)^3 - 1.296875 - 1 = 0.019287 \) - Como \( f(1.28125) < 0 \) e \( f(1.296875) > 0 \), a nova bissecção é \([1.28125, 1.296875]\). Portanto, o valor de \( x \) obtido na 6ª iteração é 1.296875.