Em uma progressão geométrica dada por (2,4,8,16,...) quantos termos devem ser somadas para que a soma restante resulte em 126?

Para resolver a questão, vamos primeiro identificar a progressão geométrica (PG) dada: \(2, 4, 8, 16, \ldots\). Essa PG tem o primeiro termo \(a = 2\) e a razão \(q = 2\). A soma dos \(n\) primeiros termos de uma PG é dada pela fórmula: \[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Substituindo os valores: \[ S_n = 2 \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2 \] Queremos que a soma restante dos termos, após somar \(n\) termos, resulte em 126. A soma total dos termos da PG até o infinito é: \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - q} = \frac{2}{1 - 2} = -2 \quad \text{(não aplicável aqui, pois estamos somando apenas os primeiros termos)} \] Na verdade, precisamos considerar a soma dos primeiros \(n\) termos e subtrair isso de um valor que não temos. Vamos considerar que a soma total que queremos é 126, então: \[ S_n = 2^{n+1} - 2 \] Queremos que a soma restante seja 126, ou seja: \[ S_n = S_{\infty} - 126 \] Como não temos \(S_{\infty}\) aqui, vamos apenas considerar que a soma dos \(n\) termos deve ser igual a 126: \[ 2^{n+1} - 2 = 126 \] Resolvendo a equação: \[ 2^{n+1} = 128 \] \[ 2^{n+1} = 2^7 \] Portanto, \(n + 1 = 7\) e \(n = 6\). Assim, devem ser somados 6 termos para que a soma restante resulte em 126.