Use uma demonstração por contradição para provar que a soma de um número irracional e um racional é irracional.

Para provar que a soma de um número irracional e um número racional é irracional, vamos usar uma demonstração por contradição. 1. Suponha que a afirmação seja falsa: Vamos assumir que existe um número irracional \( x \) e um número racional \( r \) tal que a soma \( x + r \) é um número racional. 2. Definição de número racional: Um número racional pode ser expresso como \( r = \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros e \( b \neq 0 \). 3. Reescrevendo a soma: Se \( x + r \) é racional, podemos escrever: \[ x + r = q \] onde \( q \) é um número racional. 4. Isolando \( x \): Agora, isolamos \( x \): \[ x = q - r \] 5. Propriedade dos números racionais: Como \( q \) e \( r \) são racionais, a diferença \( q - r \) também é um número racional (a soma ou subtração de números racionais é sempre racional). 6. Contradição: Isso implica que \( x \) é um número racional, o que contradiz nossa suposição inicial de que \( x \) é irracional. 7. Conclusão: Portanto, nossa suposição de que a soma de um número irracional e um número racional é racional deve estar errada. Assim, concluímos que a soma de um número irracional e um número racional é, de fato, irracional.