Mostre que se $n$ é um número inteiro e $n^{3}+5$ é impar, então $n$ é par, usando:

Para mostrar que se \( n \) é um número inteiro e \( n^{3} + 5 \) é ímpar, então \( n \) é par, podemos seguir os seguintes passos: 1. Definições: Lembre-se que um número é ímpar se ele pode ser escrito na forma \( 2k + 1 \) para algum inteiro \( k \), e é par se pode ser escrito como \( 2k \). 2. Análise do caso: Vamos considerar os dois casos possíveis para \( n \): par e ímpar. - Caso 1: \( n \) é par. Então, podemos escrever \( n = 2k \) para algum inteiro \( k \). \[ n^{3} = (2k)^{3} = 8k^{3} \] Portanto, \[ n^{3} + 5 = 8k^{3} + 5 \] Aqui, \( 8k^{3} \) é par, e \( 5 \) é ímpar, então a soma \( 8k^{3} + 5 \) é ímpar. - Caso 2: \( n \) é ímpar. Então, podemos escrever \( n = 2k + 1 \) para algum inteiro \( k \). \[ n^{3} = (2k + 1)^{3} = 8k^{3} + 12k^{2} + 6k + 1 \] Portanto, \[ n^{3} + 5 = (8k^{3} + 12k^{2} + 6k + 1) + 5 = 8k^{3} + 12k^{2} + 6k + 6 \] Aqui, \( 8k^{3} + 12k^{2} + 6k + 6 \) é par, pois todos os termos são múltiplos de 2. 3. Conclusão: Como no caso em que \( n \) é ímpar, \( n^{3} + 5 \) resulta em um número par, e sabemos que \( n^{3} + 5 \) é ímpar, concluímos que \( n \) não pode ser ímpar. Portanto, \( n \) deve ser par. Assim, provamos que se \( n^{3} + 5 \) é ímpar, então \( n \) é par.