Use uma demonstração por contraposição para mostrar que se $x+y  2$, em que $x$ e $y$ são números reais, então $x  1$ ou $y  1$.

Para usar uma demonstração por contraposição, precisamos mostrar que a negação da conclusão implica a negação da hipótese. A afirmação original é: "Se \( x + y \geq 2 \), então \( x \geq 1 \) ou \( y \geq 1 \)". A contraposição seria: "Se \( x < 1 \) e \( y < 1 \), então \( x + y < 2 \)". Vamos demonstrar isso: 1. Suponha que \( x < 1 \) e \( y < 1 \). 2. Isso significa que podemos escrever \( x = 1 - a \) e \( y = 1 - b \), onde \( a > 0 \) e \( b > 0 \). 3. Então, somando \( x \) e \( y \): \[ x + y = (1 - a) + (1 - b) = 2 - (a + b) \] 4. Como \( a > 0 \) e \( b > 0 \), temos \( a + b > 0 \). 5. Portanto, \( 2 - (a + b) < 2 \), o que implica que \( x + y < 2 \). Assim, mostramos que se \( x < 1 \) e \( y < 1 \), então \( x + y < 2 \). Portanto, pela contraposição, se \( x + y \geq 2 \), então \( x \geq 1 \) ou \( y \geq 1 \).