Distância de um ponto da hipérbole ao foco

Prezado Gustavo, o caminho que segui é equivocado pois não leva ao que você está procurando. Os pontos P que você procura estão a uma distância fixa do foco positivo da hiperbóle em questão e também pertencem a essa hiperbóle.  Note que o foco (8,0) está distante 4,5 u.c dos pontos P. Isso significa que varremos o plano para encontrar esses pontos. Ao fazermos issso, o lugar geométrico obtido é uma circunferência de centro no foco e raio 4,5.  Assim, o que você procura é os pontos ou o ponto de intersecção de uma hiperbóle e uma circunferência.

Como os cálculos são extenso e só dá para anexar imagens, anexei um arquivo com a resolução e outro arquivo com o gráfico para facilitar o entendimento e visualização. Caso queira me chame na WhatsApp que envio os arquivos em Pdf. 31 998256760.

abraços, Fábio Simão

Substituindo \(y=0\) na equação da hipérbole, obtemos seus vértices:

\({x^2\over64} = 1\Rightarrow x_v=\pm8\)

Esse resultado nos mostra que não existem pontos P na folha negativa que distam 4,5 do foco positivo, visto que a distância entre os vétices já é maior que isso. Vamos então pensar somente na folha positiva, cujo ponto geral é dado por:

\(P=\left(x,y\right)\)

Para a distância focal da hipérbole, temos:

\(c^2=a^2+b^2 = 64+36=100\Rightarrow c=10\)

Assim temos o foco positivo:

\(F = C+(c,0)=(10,0)\)

Calculando a distância do nosso ponto geral até o foco, temos:

\(d_{PF}=4,5=\sqrt{(x-10)^2+(y-0)^2}\)

Elevando a quadrado dos dois lados e simplificando o radical, temos:

\(4,5^2=(x-10)^2+y^2\Rightarrow y^2=4,5^2-(x-10)^2\)

Substituindo na equação da hipérbole, temos:

\({x^2\over64} -{ y^2\over36} = 1\Rightarrow {x^2\over64} -{ 4,5^2-(x-10)^2\over36} =1 \)

Igualando os denominadores, temos:

\(36x^2 -36^2+64(x-10)^2 =48^2 \)

Expandindo o binômio, temos:

\(36x^2 -36^2+64(x^2-20x+100) =48^2 \)

Simplificando, temos:

\(100x^2-1280x +2800=0 \)

Dividindo por 20, temos:

\(5x^2-64x +140=0 \)

Resolvendo a equação, temos:

\(x={64\pm\sqrt{64^2-4\cdot5\cdot140}\over10}=\in\{2,8;10\}\)

A raiz menor se localiza antes do vértice, o que não é coerente com o que desejamos.

Pontanto os pontos P procurados são:

\(P=\left(10,\pm6\sqrt{{10^2\over64} - 1}\right)\Rightarrow\boxed{P=\left(10,\pm{36\over8}\right)}\)