Calcular a área da região definida por r = 2a cose

Para calcular a área da região definida pela curva polar \( r = 2a \cos(\theta) \), podemos usar a fórmula da área em coordenadas polares: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta \] Neste caso, \( r = 2a \cos(\theta) \), então \( r^2 = (2a \cos(\theta))^2 = 4a^2 \cos^2(\theta) \). A curva \( r = 2a \cos(\theta) \) é um círculo com raio \( a \) e está centrado em \( (a, 0) \) no plano cartesiano. Os limites de integração para um ciclo completo da curva são de \( \theta = -\frac{\pi}{2} \) a \( \theta = \frac{\pi}{2} \). Substituindo na fórmula da área, temos: \[ A = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4a^2 \cos^2(\theta) \, d\theta \] Simplificando: \[ A = 2a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) \, d\theta \] Usamos a identidade \( \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \): \[ A = 2a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta \] \[ A = a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta \] Calculando a integral: \[ A = a^2 \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \] \[ A = a^2 \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) \right] \] \[ A = a^2 \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right] = a^2 \pi \] Portanto, a área da região definida por \( r = 2a \cos(\theta) \) é: \[ A = a^2 \pi \]