Integral Definida - Cálculo de Área - Versão 07 de Novembro de 2018

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<p>Profa. Rosely Bervian</p><p>1</p><p>INTEGRAL</p><p>DEFINIDA</p><p>As ideias básicas do Cálculo Integral têm</p><p>origem bem remota e começaram com o</p><p>problema de calcular a área de uma figura</p><p>plana ou o volume de um sólido. Estas foram</p><p>questões centrais da matemática na Grécia</p><p>antiga desde cerca de quatro séculos A.C.</p><p>Arquimedes (287 – 212 A.C.) se ocupou</p><p>intensamente com estes problemas</p><p>calculando áreas e volumes de diversas</p><p>figuras geométricas.</p><p>O procedimento usado nesses cálculos</p><p>empregava o chamado “método da</p><p>exaustão” que consistia em “exaurir” ou</p><p>“esgotar” a figura dada por meio de outras de</p><p>áreas e volumes conhecidos. Este método é</p><p>atribuído a Eudoxo (406-355 A.C.), que foi</p><p>quem primeiro deu uma prova satisfatória de</p><p>que o volume de um cone é um terço do</p><p>volume de um cilindro de mesma base e</p><p>altura.</p><p>O método da exaustão foi desenvolvido e</p><p>aperfeiçoado por Arquimedes, que é</p><p>considerado juntamente com Newton e</p><p>Gauss como um dos três grandes</p><p>matemáticos da história. Certamente é o</p><p>maior matemático da Antiguidade.</p><p>Arquimedes usou técnicas para encontrar</p><p>áreas de regiões limitadas por parábolas,</p><p>espirais e várias outras curvas (BOYER,</p><p>1996).</p><p>Exemplo: Calcular a área da região limitada</p><p>pela curva y = x2 no intervalo [0,1].</p><p>Vamos usar o método de soma de áreas de</p><p>retângulos, para calcular a área dessa região. O</p><p>método consiste em:</p><p>➢ dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais;</p><p>➢ em cada subintervalo construir um retângulo que</p><p>se estende desde o eixo Ox até algum ponto da</p><p>curva y = f(x).</p><p>O retângulo tem base igual ao comprimento do</p><p>subintervalo e altura igual a f(c), sendo c um ponto</p><p>qualquer do subintervalo (em geral é tomado como</p><p>uma das extremidades do subintervalo ou o ponto</p><p>médio).</p><p>A área total dos retângulos pode ser vista como</p><p>uma aproximação da área exata da figura sob a</p><p>curva no intervalo [a,b].</p><p>Profa. Rosely Bervian</p><p>2</p><p>Considere o problema de encontrar a área</p><p>da região limitada pelo gráfico de uma</p><p>função y = f(x), não negativa, num intervalo</p><p>[a,b], pelo eixo Ox e pelas retas x = a e x = b.</p><p>a b</p><p>Para isso faremos uma partição no intervalo</p><p>[a,b], isto é, dividiremos o intervalo em n</p><p>subintervalos por meio dos pontos</p><p>a = x0 < x1 < ... < xn-1 < xn = b</p><p>Tomam-se retângulos “contidos” na região</p><p>que queremos calcular a área. As bases</p><p>desses retângulos medem x1, x2, ... , xn,</p><p>em que cada xi = xi – xi-1 e as alturas</p><p>medem f(c1), f(c2),..., f(cn), com cada ci</p><p>tomado no intervalo [xi-1,xi].</p><p>A soma das áreas desses pequenos</p><p>retângulos é</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>n</p><p>1 1 2 2 n n i i</p><p>i 1</p><p>A(n) f c x f c x ... f c x f(c ) x</p><p>=</p><p>=  +  + +  = </p><p>Esta soma é chamada soma de Riemann</p><p>da função f, em homenagem ao matemático</p><p>Bernhard Riemann (1826-1866).</p><p>Observe que se o número de divisões</p><p>crescer indefinidamente, isto é, à medida</p><p>que n cresce, xi torna-se muito pequeno,</p><p>a soma das áreas dos retângulos aproxima-</p><p>se da área do problema considerado (área</p><p>da região S).</p><p>=</p><p>→+ →+</p><p> </p><p>= =  </p><p> </p><p></p><p>n</p><p>i i</p><p>i 1</p><p>n n</p><p>S lim A(n) lim f(c ) x</p><p>DEFINIÇÃO 1. Seja f uma função definida</p><p>num intervalo [a,b]. A integral definida da</p><p>função f de a até b é</p><p>nb</p><p>i i</p><p>a n</p><p>i 1</p><p>f(x)dx lim x f(c )</p><p>→+</p><p>=</p><p>= </p><p>desde que o limite exista.</p><p>Quando a função f é contínua e não negativa</p><p>em [a,b], a definição da integral definida</p><p>coincide com a definição de área. Portanto,</p><p>neste caso, a integral definida é a área da</p><p>região sob o gráfico de f de a até b.</p><p>b</p><p>a</p><p>S f(x)dx= </p><p>a b</p><p>S</p><p>f</p><p>Profa. Rosely Bervian</p><p>3</p><p>Quando existe, dizemos que f é</p><p>integrável em [a,b].</p><p>b</p><p>a</p><p>f(x)dx</p><p>Na notação , a função f(x) é</p><p>chamada integrando, os números a e b são</p><p>chamados limites de integração, sendo a o</p><p>limite inferior e b o limite superior. O</p><p>processo de calcular uma integral é chamado</p><p>integração.</p><p>b</p><p>a</p><p>f(x)dx</p><p>PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA</p><p>1) Se f é uma função integrável em [a,b] e k</p><p>é um número real arbitrário, então a função</p><p>kf é integrável em [a,b] e</p><p>b b</p><p>a a</p><p>kf(x)dx k f(x)dx= </p><p>2) Se f e g são funções integráveis em</p><p>[a,b], então f + g é integrável em [a , b] e</p><p>( )</p><p>b b b</p><p>a a a</p><p>f(x) g x dx f(x)dx g(x)dx + = +   </p><p>PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA</p><p>3) Se a < c < b e f é integrável em [a,c] e em</p><p>[c,b], então f é integrável em [a,b] e</p><p>( )</p><p>b c b</p><p>a a c</p><p>f x dx f(x)dx f(x)dx= +  </p><p>TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO.</p><p>Se f é uma função contínua em [a,b] e F é</p><p>uma primitiva de f neste intervalo, então</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>b</p><p>a</p><p>f x dx F b F a= −</p><p>CÁLCULO DE</p><p>ÁREAS</p><p>1° CASO: Cálculo da área da região limitada</p><p>pelo gráfico de uma função f e pelo eixo Ox,</p><p>no intervalo [a,b], em que f é contínua e</p><p>f(x)  0, para todo x  [a,b].</p><p>a b</p><p>f</p><p>A área é dada por: = </p><p>b</p><p>a</p><p>A f(x)dx</p><p>.</p><p>Profa. Rosely Bervian</p><p>4</p><p>1) Determine a área da região limitada pelas</p><p>retas y = x, x = 1, x = 2 e y = 0 (eixo Ox).</p><p>2) Determine a área da região limitada pela</p><p>curva y = – x2 + 3x – 2 e y = 0 (eixo Ox).</p><p>3) Determine a área da região limitada por</p><p>y = 4 – 2x, y = 1 + x2, x = 0 e y = 0 (eixo Ox).</p><p>4) Determine a área da região limitada por</p><p>y = ln(x), y = 0 (eixo Ox) e x = 3 .</p><p>5) Determine a área da região limitada pelas</p><p>curvas (y - 2)2 = 8(x - 1), y = 1, y = 4 e x = 0.</p><p>A área é dada por:</p><p>= </p><p>d</p><p>c</p><p>A g(y)dy</p><p>c</p><p>d</p><p>x = g(y)</p><p>y</p><p>x</p><p>2° CASO: Cálculo da área da região limitada</p><p>pelo gráfico de uma função f, pelas retas</p><p>x = a, x = b e o eixo Ox, em que f é contínua</p><p>e f(x)  0, para todo x  [a,b].</p><p>A área é dada por: = </p><p>b</p><p>a</p><p>A f(x)dx</p><p>.</p><p>a b</p><p>f</p><p>6) Determine a área da região limitada pela</p><p>curva y = x2 – 4 e pelo eixo Ox.</p><p>7) a) Calcule a integral definida de</p><p>f(x) = sen(x) de 0 a 2.</p><p>b) Determine a área da região limitada pelo</p><p>gráfico de y = senx e pelo eixo Ox de 0 até</p><p>2.</p><p>8) Determine a área da região limitada pelo</p><p>eixo Ox e pelo gráfico da função</p><p>f(x) = x3 – x2 – 2x.</p><p>3° CASO: Cálculo de área da figura plana</p><p>limitada pelos gráficos de f e g contínuas e</p><p>pelas retas x = a e x = b, onde f(x)  g(x),</p><p>x  [a , b].</p><p>A área é dada por:</p><p>.</p><p>a b</p><p>f</p><p>g</p><p>( ) ( ) = − = −   </p><p>b b b</p><p>a a a</p><p>A f(x)dx g(x)dx f x g x dx</p><p>9) Determine a área limitada por y = x2 e</p><p>y = x + 2.</p><p>10) Determine a área limitada por y = 6x – x2</p><p>e y = x2 – 2x .</p><p>11) Determine a área limitada por y = senx e</p><p>y = cosx de 0 até 2.</p><p>12) Determine a área limitada pelas curvas</p><p>y2 = x – 1 e y = – x + 3.</p><p>Profa. Rosely Bervian</p><p>5</p><p>13) Determine a área limitada por x = y2,</p><p>y – x = 2, y = – 2 e y = 3.</p><p>14) Determine a área limitada por y = ln(x),</p><p>x = 1 e y = 4.</p>