Calcular a área da região definida por r = 2a cos 0 A )) Pi.a²/2 B )) Pi.a2 C Pi.a²/5 L3 D Pi. a² /8

Para calcular a área da região definida pela equação polar \( r = 2a \cos(\theta) \), podemos usar a fórmula da área em coordenadas polares: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta \] Neste caso, a curva \( r = 2a \cos(\theta) \) representa um círculo. O intervalo de \( \theta \) para um círculo completo é de \( 0 \) a \( \pi \). Substituindo \( r \) na fórmula: \[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2a \cos(\theta))^2 \, d\theta \] Calculando: \[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 4a^2 \cos^2(\theta) \, d\theta \] \[ A = 2a^2 \int_{0}^{\pi} \cos^2(\theta) \, d\theta \] Usando a identidade \( \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \): \[ A = 2a^2 \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta \] \[ A = a^2 \int_{0}^{\pi} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta \] \[ A = a^2 \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]_{0}^{\pi} \] \[ A = a^2 \left[ \pi + 0 - (0 + 0) \right] \] \[ A = \pi a^2 \] Portanto, a área da região definida por \( r = 2a \cos(\theta) \) é \( \pi a^2 \). A alternativa correta é: B) \(\pi a^2\).