Calcular a área da região definida por 7 = 2acos 0

Para calcular a área da região definida pela equação \(7 = 2a \cos(\theta)\), primeiro precisamos rearranjar a equação para encontrar \(a\): \[ a = \frac{7}{2 \cos(\theta)} \] Essa equação representa uma curva em coordenadas polares. A área \(A\) de uma região em coordenadas polares é dada pela fórmula: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \, d\theta \] Substituindo \(r\) pela expressão que encontramos: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left(\frac{7}{2 \cos(\theta)}\right)^2 \, d\theta \] Simplificando: \[ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{49}{4 \cos^2(\theta)} \, d\theta = \frac{49}{8} \int_{\alpha}^{\beta} \sec^2(\theta) \, d\theta \] A integral de \(\sec^2(\theta)\) é \(\tan(\theta)\). Portanto, precisamos determinar os limites de integração \(\alpha\) e \(\beta\) para a região que estamos considerando. Se a curva é simétrica, podemos considerar um intervalo de \(-\frac{\pi}{2}\) a \(\frac{\pi}{2}\) para calcular a área total. Assim, a área se torna: \[ A = \frac{49}{8} \left[ \tan(\theta) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \] No entanto, como \(\tan(\theta)\) não está definida em \(-\frac{\pi}{2}\) e \(\frac{\pi}{2}\), precisamos escolher um intervalo que não inclua esses pontos. Por exemplo, de \(0\) a \(\frac{\pi}{2}\). Assim, a área total será: \[ A = \frac{49}{8} \left[ \tan(\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{49}{8} \left( \infty - 0 \right) \] Isso indica que a área é infinita, pois a função \(\tan(\theta)\) tende ao infinito em \(\frac{\pi}{2}\). Portanto, a região definida por essa equação não tem uma área finita.