Para determinar a área delimitada pelas curvas \( w = y^2 \ln y \) e \( w = 4 \ln y \), precisamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas e, em seguida, calcular a integral da diferença entre as funções. 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas funções: \[ y^2 \ln y = 4 \ln y \] Se \( \ln y \neq 0 \) (ou seja, \( y \neq 1 \)), podemos dividir ambos os lados por \( \ln y \): \[ y^2 = 4 \implies y = 2 \text{ ou } y = -2 \text{ (não é válido, pois } y > 0\text{)} \] Portanto, o ponto de interseção é \( y = 2 \). 2. Calcular a área: A área \( A \) entre as curvas de \( y = 1 \) até \( y = 2 \) é dada por: \[ A = \int_{1}^{2} (4 \ln y - y^2 \ln y) \, dy \] Simplificando a integral: \[ A = \int_{1}^{2} (4 - y^2) \ln y \, dy \] 3. Resolver a integral: A integral pode ser resolvida usando integração por partes ou tabelas de integrais, mas o resultado final deve ser comparado com as opções dadas. Após calcular a integral, você deve encontrar que a área delimitada é: \[ A = \frac{16}{3} \ln(2) - \frac{29}{9} \] Portanto, a alternativa correta é: A. \( \frac{16}{3} \ln(2) - \frac{29}{9} \).