Em um projeto de processamento de sinais digitais, um engenheiro precisa analisar um sinal discreto periódico x[n] que representa uma onda senoidal co

Question

Em um projeto de processamento de sinais digitais, um engenheiro precisa analisar um sinal discreto periódico x[n] que representa uma onda senoidal com período fundamental N=4. O sinal é descrito pela função: x[n]=sin⁡(πn2) x[n]=sin(2 πn ​) O engenheiro deseja expandir esse sinal em uma Série de Fourier Discreta para identificar suas componentes harmônicas. A forma discreta da Série de Fourier é amplamente utilizada em algoritmo processamento de sinais, como a Transformada Discreta de Fourier (DFT) e a Transformada Rápida de Fourier (FFT). A Série de Fourier Discreta é usada em sistemas de comunicação, processamento de áudio, imagens e sinais biológicos, como eletrocardiogramas (ECG) e é dada por:x[n]=k=0 ∑ N−1 ​dk ​eikω0 ​n onde ω0=2πN ω0 ​=N 2π ​ é a frequência fundamental e os coeficientes dk dk ​ são calculados por: dk=1N∑n=0N−1x[n]e−ikω0n dk ​=N 1 ​n=0 ∑ N−1 ​x[n]e−ikω0 ​n Qual das alternativas abaixo descreve corretamente o coeficiente d0 d0 ​ para essa função?A 1/2 B 1/2i C 1/2i D 0

Ed · Answer

Para calcular o coeficiente $ d_0 $ da Série de Fourier Discreta, precisamos usar a fórmula:

$$
d_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-ik\omega_0 n}
$$

onde $ \omega_0 = \frac{2\pi}{N} $. No seu caso, $ N = 4 $, então $ \omega_0 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $.

O sinal dado é $ x[n] = \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) $. Vamos calcular $ d_0 $:

$$
d_0 = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{3} x[n] e^{-i \cdot 0 \cdot \frac{\pi}{2} n} = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^{3} x[n]
$$

Agora, precisamos calcular $ x[n] $ para $ n = 0, 1, 2, 3 $:

- $ x[0] = \sin(0) = 0 $
- $ x[1] = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
- $ x[2] = \sin(\pi) = 0 $
- $ x[3] = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $

Agora, somamos os valores:

$$
\sum_{n=0}^{3} x[n] = 0 + 1 + 0 - 1 = 0
$$

Portanto, substituindo na fórmula de $ d_0 $:

$$
d_0 = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0
$$

Assim, a alternativa correta que descreve o coeficiente $ d_0 $ é:

**D) 0**.

Análise de Sinais e Sistemas

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