Para determinar qual das equações gerais corresponde à hipérbole dada pelas equações paramétricas \( x = 4 + \sec(\theta) \) e \( y = 7 + 2\tan(\theta) \), precisamos eliminar o parâmetro \(\theta\). Sabemos que: - \( \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} \) - \( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \) Podemos usar a identidade \( \sec^2(\theta) - \tan^2(\theta) = 1 \) para relacionar \( x \) e \( y \). 1. Da equação de \( x \): \[ \sec(\theta) = x - 4 \] Portanto, \( \sec^2(\theta) = (x - 4)^2 \). 2. Da equação de \( y \): \[ \tan(\theta) = \frac{y - 7}{2} \] Portanto, \( \tan^2(\theta) = \left(\frac{y - 7}{2}\right)^2 \). 3. Usando a identidade: \[ (x - 4)^2 - \left(\frac{y - 7}{2}\right)^2 = 1 \] 4. Expandindo: \[ (x - 4)^2 - \frac{(y - 7)^2}{4} = 1 \] Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador: \[ 4(x - 4)^2 - (y - 7)^2 = 4 \] 5. Expandindo: \[ 4(x^2 - 8x + 16) - (y^2 - 14y + 49) = 4 \] \[ 4x^2 - 32x + 64 - y^2 + 14y - 49 = 4 \] \[ 4x^2 - y^2 - 32x + 14y + 11 = 0 \] Agora, comparando com as opções dadas, a alternativa correta é: b) \( 4x^2 - y^2 - 32x + 14y + 11 = 0 \).