Matemática em Contexto Trigonometria e Sistemas Lineares (74)

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Circunferência orientada e circunferência 
trigonométrica
Como você viu, as medidas angulares de arcos em uma circunferência variam de 
0° ou 0 rad (arco nulo) até 360° ou 2p rad (arco de uma volta), assim como as medi-
das de abertura de ângulos centrais. Assim, nesse estudo, não fazia sentido falar em 
um arco de medida angular 720° ou em um ângulo de medida de abertura 720°, por 
exemplo.
A partir de agora, ao estabelecer a circunferência trigonométrica, poderemos am-
pliar as noções de seno e cosseno de um ângulo para medidas de abertura maiores do 
que 360° e para medidas de abertura negativas, e, posteriormente, estudar a função 
seno e a função cosseno.
Circunferência orientada
A cada número real, podemos associar um percurso em uma circunferência. No 
caso de uma circunferência cuja medida de comprimento do raio é 1 (r 5 1), a medida 
de comprimento desse percurso corresponde ao número real escolhido.
Circunfer•ncia orientada é toda circunferência na qual convencionamos como 
positivo um dos sentidos do percurso (horário ou anti-horário).
Neste livro, convencionamos como positivo o sentido anti-horário. Assim, se o nú-
mero real for positivo, então o percurso será feito no sentido anti-horário, e, se o número 
real for negativo, então o percurso será feito no sentido horário.
sentido horário (2)
sentido anti-horário (1)
O
Como vimos, a medida de comprimento L de um arco de circunferência depende 
da medida de comprimento r do raio da circunferência, mas a medida angular a não. 
Sabendo que L 5 a ? r (com a em radianos), para r 5 1, temos L 5 a .
Veja alguns exemplos dessa associação de números reais a percursos em uma cir-
cunferência.
	a) Número real 
p
2
.
A esse número associamos, em uma circunferência com r 5 1, o percurso no 
sentido anti-horário, representado pelo arco AB» de medida de comprimento p
2
.
	b) Número real 2
p
2
.
A esse número associamos, em uma circunferência com r 5 1, o percurso no 
sentido horário, representado pelo arco AB» de medida de comprimento 
p
2
.
O
B
A
B
O A
B
a
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Circunferência trigonométrica
Circunferência trigonométrica é a circunferência orientada, de centro na origem do sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, cujo raio tem medida de comprimento 1 e na qual o sentido positivo é o anti-horário.
Vamos associar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais à circunferência trigonométrica de 
centro O, fixando o ponto A(1, 0) como origem dos arcos.
21
1
A8 A
B8
B
y
x
O
1
2
origem
dos
arcos (1, 0)
1
Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes congruentes, chamadas quadran-
tes, como mostrado abaixo. 
Os pontos B, A8 e B8 
dessa circunferência 
trigonométrica 
correspondem a quais 
pares ordenados?
Reflita
B(0, 1); A8(21, 0) e B8(0, 21).
A circunferência trigonométrica 
é uma representação gráfica 
que auxilia na resolução 
de diversos problemas de 
Trigonometria.
B
a
n
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Atividades Não escreva no livro.
	73.	Esboce no caderno o desenho para representar, em uma circunferência com raio de medida de comprimento 2 uni-
dades de comprimento, cada arco de medida de comprimento dada.
	a) p 	b) 2p 	c) 
3
2
2
p
 	d) 
4
p
 
As respostas encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
F
e
rn
a
n
d
o
 B
la
n
c
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 C
a
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a
d
a
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to
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A8 A
B8
B
y
x
90°
180°
270°
360°O
0°
2o
quadrante
quadrante
3o
1o
quadrante
quadrante
4o
A8 A
B8
B
y
x
O
p
2
3p
2
p 2p
2o
quadrante
quadrante
3o
1o
quadrante
quadrante
4o
0
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