Para calcular o comprimento \( L(g) \) do caminho \( g(t) = (e^t \cos(2\pi t), e^t \sin(2\pi t)) \), precisamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt \] Primeiro, vamos calcular as derivadas \( \frac{dx}{dt} \) e \( \frac{dy}{dt} \): 1. \( x(t) = e^t \cos(2\pi t) \) - \( \frac{dx}{dt} = e^t \cos(2\pi t) - 2\pi e^t \sin(2\pi t) = e^t (\cos(2\pi t) - 2\pi \sin(2\pi t)) \) 2. \( y(t) = e^t \sin(2\pi t) \) - \( \frac{dy}{dt} = e^t \sin(2\pi t) + 2\pi e^t \cos(2\pi t) = e^t (\sin(2\pi t) + 2\pi \cos(2\pi t)) \) Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento: \[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{\left( e^t (\cos(2\pi t) - 2\pi \sin(2\pi t)) \right)^2 + \left( e^t (\sin(2\pi t) + 2\pi \cos(2\pi t)) \right)^2} \, dt \] Fatorando \( e^{2t} \): \[ L = \int_{0}^{1} e^t \sqrt{(\cos(2\pi t) - 2\pi \sin(2\pi t))^2 + (\sin(2\pi t) + 2\pi \cos(2\pi t))^2} \, dt \] Simplificando a expressão dentro da raiz, obtemos: \[ L = \int_{0}^{1} e^t \sqrt{1 + 4\pi^2} \, dt \] Integrando \( e^t \) de \( 0 \) a \( 1 \): \[ L = \sqrt{1 + 4\pi^2} \left[ e^t \right]_{0}^{1} = \sqrt{1 + 4\pi^2} (e - 1) \] Portanto, o comprimento \( L(g) \) do caminho \( g \) é: \[ L(g) = \sqrt{1 + 4\pi^2} (e - 1) \] Analisando as alternativas, a correta é: A \( \sqrt{1 + 4\pi^2} (e - 1) \)