Para calcular a integral de linha \( \int_C f \, dr \), onde \( C \) é o caminho dado por \( r(t) = (t, t^2, t^3) \) para \( 0 \leq t \leq 1 \) e \( f(x, y, z) = x^2yz + xz^2 - 2xy^2 + x - 2(2 - 1)\sen(z) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Parametrização do caminho: Temos \( x = t \), \( y = t^2 \), \( z = t^3 \). 2. Calcular \( dr \): Derivando \( r(t) \) em relação a \( t \): \[ dr = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) dt = (1, 2t, 3t^2) dt. \] 3. Substituir na função \( f \): \[ f(t, t^2, t^3) = t^2(t^2)(t^3) + t(t^3)^2 - 2t(t^2)^2 + t - 2(2 - 1)\sen(t^3). \] Simplificando: \[ = t^7 + t^7 - 2t^5 + t - 2\sen(t^3). \] \[ = 2t^7 - 2t^5 + t - 2\sen(t^3). \] 4. Calcular a integral: \[ \int_0^1 f(t, t^2, t^3) \cdot dr = \int_0^1 (2t^7 - 2t^5 + t - 2\sen(t^3))(1, 2t, 3t^2) \cdot (1, 2t, 3t^2) dt. \] Isso resulta em: \[ = \int_0^1 (2t^7 - 2t^5 + t - 2\sen(t^3))(1 + 4t^2 + 9t^4) dt. \] 5. Resolver a integral: Você precisará expandir e integrar cada termo resultante. O resultado final será a soma das integrais de cada termo. Se precisar de ajuda com a parte de integração, é só avisar!