Para resolver essa questão, precisamos considerar que temos 8 crianças e que elas devem alternar suas posições de forma que nenhuma criança veja a mesma pessoa na frente dela do dia anterior. Vamos considerar que as crianças são numeradas de 1 a 8. No primeiro dia, elas podem estar dispostas de qualquer maneira, ou seja, há 8! (8 fatorial) maneiras de organizá-las. No segundo dia, para que nenhuma criança veja a mesma pessoa na frente, precisamos encontrar uma permutação que não mantenha a mesma posição da primeira. Isso é conhecido como um problema de derangement (ou permutação sem fixação). O número de derangements de n elementos é dado pela fórmula: \[ !n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!} \] Para n = 8, o número de derangements é: \[ !8 = 8! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} - \frac{1}{7!} + \frac{1}{8!} \right) \] Calculando isso, temos: 1. \( 8! = 40320 \) 2. A soma \( \sum_{i=0}^{8} \frac{(-1)^i}{i!} \) resulta em aproximadamente 0.368055. Portanto, o número de derangements é: \[ !8 \approx 40320 \times 0.368055 \approx 14833 \] Assim, as crianças podem alternar suas posições de aproximadamente 14.833 maneiras diferentes.