Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade de que nenhum dos oito amigos retire o próprio nome. Esse tipo de problema é conhecido como "problema do derangement". A fórmula para calcular o número de derangements (denotado por !n) de n elementos é: \[ !n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!} \] Para n = 8, primeiro calculamos 8! (fatorial de 8): \[ 8! = 40320 \] Agora, calculamos o número de derangements !8: \[ !8 = 8! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} - \frac{1}{7!} + \frac{1}{8!} \right) \] Calculando cada termo: - \( \frac{1}{0!} = 1 \) - \( \frac{1}{1!} = 1 \) - \( \frac{1}{2!} = 0.5 \) - \( \frac{1}{3!} \approx 0.1667 \) - \( \frac{1}{4!} = 0.0417 \) - \( \frac{1}{5!} = 0.0083 \) - \( \frac{1}{6!} \approx 0.0014 \) - \( \frac{1}{7!} \approx 0.0002 \) - \( \frac{1}{8!} \approx 0.000025 \) Somando os termos: \[ 1 - 1 + 0.5 - 0.1667 + 0.0417 - 0.0083 + 0.0014 - 0.0002 + 0.000025 \approx 0.368055 \] Agora, multiplicamos pelo fatorial: \[ !8 \approx 40320 \times 0.368055 \approx 14833 \] A probabilidade de que nenhum amigo retire o próprio nome é dada por: \[ P = \frac{!8}{8!} = \frac{14833}{40320} \approx 0.3679 \] Portanto, a probabilidade de que nenhum dos oito amigos retire o próprio nome é aproximadamente 36,79%.