São dados pontos em círculo. Quantos ágonos (não necessariamente convexos) existem com vértices nesses pontos?

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Para determinar quantos ágonos podem ser formados com \( n \) pontos em um círculo, precisamos considerar que um ágono é definido por um conjunto de vértices. 1. Escolha dos Vértices: Para formar um ágono, você pode escolher qualquer combinação de \( k \) pontos (onde \( k \) varia de 3 até \( n \)) dos \( n \) pontos disponíveis. 2. Cálculo das Combinações: O número de maneiras de escolher \( k \) pontos de \( n \) é dado pela combinação \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). 3. Soma das Combinações: Portanto, o total de ágonos que podem ser formados é a soma das combinações para \( k \) variando de 3 a \( n \): \[ \text{Total de ágonos} = \sum_{k=3}^{n} C(n, k) \] 4. Resultado Final: Assim, o número total de ágonos que podem ser formados com \( n \) pontos em um círculo é a soma das combinações de 3 até \( n \). Se precisar de um número específico, basta substituir \( n \) na fórmula!

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(Ita 2004) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
a) 210
b) 315
c) 410
d) 415
e) 521
f) Não sei.

(Ita 2002) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c?
a) 1692.
b) 1572.
c) 1520.
d) 1512.
e) 1392.
f) Não sei.

Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o maior valor possível de N é igual a
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
f) Não sei

(IME 2016) Um hexágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De quantas formas podemos colocar os números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repetição, de maneira que a soma dos números em três triângulos adjacentes seja sempre múltiplo de 3? Soluções obtidas por rotação ou reflexão são diferentes, portanto as figuras abaixo mostram duas soluções distintas.
a) 12
b) 24
c) 36
d) 48
e) 96
f) Não sei

(IME 2013) Em uma festa de aniversário estão presentes famílias com pai, mãe e 2 filhos, além de 2 famílias com pai, mãe e 1 filho. Organiza-se uma brincadeira que envolve esforço físico, na qual uma equipe azul enfrentará uma equipe amarela. Para equilibrar a disputa, uma das equipes terá apenas o pai de uma das famílias, enquanto a outra equipe terá 2 pessoas de uma mesma família, não podendo incluir o pai. É permitido que o pai enfrente 2 pessoas de sua própria família. Para que se tenha exatamente 2014 formas distintas de se organizar a brincadeira, o valor de deverá ser
a) (A) 17
b) (B) 18
c) (C) 19
d) (D) 20
e) (E) 21
f) Não sei

Sobre duas retas paralelas e são tomados 13 pontos, pontos em e pontos em , sendo > . Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o números de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11. Então os valores de e são, respectivamente:
a) A ( ) 2 e 11
b) B ( ) 3 e 10
c) C ( ) 4 e 9
d) D ( ) 5 e 8
e) E ( ) 6 e 7

Determine quantos paralelepípedos retângulos diferentes podem ser construídos de tal maneira que a medida de cada uma de suas arestas seja um números inteiro positivo que não exceda 10.

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c) 410
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e) 1392.
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Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o maior valor possível de N é igual a
a) 10
b) 15
c) 20
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f) Não sei

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a) 10
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f) Não sei