Para determinar a taxa de variação da temperatura em relação à trajetória definida pelo vetor (2, 4), precisamos usar o conceito de derivadas direcionais. Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função \( T(x, y) = \sqrt{x^2 + 2y^2} \). O gradiente é dado por: \[ \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right) \] Calculando as derivadas parciais: 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2y^2}} \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{2y}{\sqrt{x^2 + 2y^2}} \] Agora, avaliamos o gradiente no ponto \( (1, \sqrt{2}) \): \[ \nabla T(1, \sqrt{2}) = \left( \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2(\sqrt{2})^2}}, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1^2 + 2(\sqrt{2})^2}} \right) \] Calculando \( 1^2 + 2(\sqrt{2})^2 = 1 + 4 = 5 \), então: \[ \nabla T(1, \sqrt{2}) = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right) \] Agora, precisamos normalizar o vetor \( (2, 4) \): \[ \text{Norma} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] O vetor unitário na direção de \( (2, 4) \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{2}{2\sqrt{5}}, \frac{4}{2\sqrt{5}} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \] Agora, a taxa de variação da temperatura na direção do vetor \( (2, 4) \) é dada pelo produto escalar do gradiente e do vetor unitário: \[ D_{\mathbf{u}} T = \nabla T \cdot \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \] Calculando o produto escalar: \[ D_{\mathbf{u}} T = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5} + \frac{4\sqrt{2}}{5} = \frac{1 + 4\sqrt{2}}{5} \] Portanto, a taxa de variação da temperatura sofrida pelo objeto é: \[ D_{\mathbf{u}} T = \frac{1 + 4\sqrt{2}}{5} \]