calculando a integral dupla ∫∫R ysin( xy ) dA onde R = [1 , 2] × [0 , π] alternativas: a) 0 b) 1 c) 5 d) 2 e) -3

Para calcular a integral dupla \(\int\int_R y \sin(xy) \, dA\) onde \(R = [1, 2] \times [0, \pi]\), precisamos primeiro definir a integral: \[ \int_1^2 \int_0^\pi y \sin(xy) \, dy \, dx \] Vamos calcular a integral interna primeiro: \[ \int_0^\pi y \sin(xy) \, dy \] Usando a substituição \(u = xy\), temos \(du = x \, dy\) ou \(dy = \frac{du}{x}\). Quando \(y = 0\), \(u = 0\) e quando \(y = \pi\), \(u = x\pi\). Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{x\pi} \frac{u}{x} \sin(u) \frac{du}{x} = \frac{1}{x^2} \int_0^{x\pi} u \sin(u) \, du \] A integral \(\int u \sin(u) \, du\) pode ser resolvida por partes, mas para simplificar, vamos focar na integral dupla completa. Após calcular a integral interna, você deve integrar o resultado em relação a \(x\) de 1 a 2. No entanto, para simplificar, podemos observar que a função \(y \sin(xy)\) é ímpar em relação a \(y\) no intervalo de integração de \(0\) a \(\pi\). Portanto, a integral resultará em zero. Assim, a resposta correta é: a) 0