Um espaço vetorial é descrito como um espaço linear composto por um conjunto de vetores, de modo que as regras da soma e multiplicação por escalar sej

Question

Um espaço vetorial é descrito como um espaço linear composto por um conjunto de vetores, de modo que as regras da soma e multiplicação por escalar sejam satisfeitas ao se manipular tais vetores (Corrêa, 2006; Anton, 2012; Nicholson, 2014). O conceito de espaço vetorial pode ser aplicado em áreas como a geometria analítica, para representação de pontos, retas e planos no espaço (Corrêa, 2006; Anton, 2012). Também se aplica em análise funcional, utilizando-se os espaços vetoriais para funções usadas em equações diferenciais, além de outras aplicações. Além do conceito de espaço anulado, os espaços vetoriais podem apresentar espaço imagem, e essas são duas classificações para os espaços vetoriais. Fórmula matemática. A expressão representa uma transformação: T de R³ para R³, ou seja, T é uma função que transforma vetores do espaço tridimensional R³ em outros vetores também pertencentes a R³. Com base nos espaços imagens T = R3 – R3 , se definida por T (x , y , z) = (x + y , y + z , z + x), qual é a dimensão da imagem de T? Assinale a alternativa correta: • a A dimensão da imagem de T é igual a 0. • b A dimensão da imagem de T é igual a 1. • c A dimensão da imagem de T é igual a 2. • d A dimensão da imagem de T é igual a 3. • e A dimensão da imagem de T é igual a 4.

Ed · Answer

Para determinar a dimensão da imagem da transformação $ T(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) $, precisamos analisar a matriz associada a essa transformação e o espaço gerado pelas suas colunas.

1. **Escrevendo a transformação em forma matricial**:
   A transformação pode ser representada pela matriz:
   $$
   A = \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 \
   0 & 1 & 1 \
   1 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   $$

2. **Encontrando a dimensão da imagem**:
   Para encontrar a dimensão da imagem, precisamos calcular o posto da matriz $ A $. O posto é o número de colunas linearmente independentes.

3. **Reduzindo a matriz**:
   Vamos fazer a redução da matriz $ A $ para a forma escalonada:
   $$
   \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 \
   0 & 1 & 1 \
   1 & 0 & 1
   \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 \
   0 & 1 & 1 \
   0 & -1 & 1
   \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
   1 & 1 & 0 \
   0 & 1 & 1 \
   0 & 0 & 2
   \end{pmatrix}
   $$

A matriz reduzida tem 3 pivôs, o que indica que as colunas são linearmente independentes.

4. **Conclusão**:
   Portanto, a dimensão da imagem de $ T $ é igual a 3.

Assim, a alternativa correta é:
• d) A dimensão da imagem de T é igual a 3.

Álgebra Linear

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