Para encontrar a direção em que a função \( f(x,y) = x^3 - 2xy \) cresce mais rapidamente a partir do ponto \( (1,-1) \), precisamos calcular o gradiente da função, que é dado por \( \nabla f \). Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais: 1. \( \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 2y \) 2. \( \frac{\partial f}{\partial y} = -2x \) Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto \( (1, -1) \): 1. \( \frac{\partial f}{\partial x} \) em \( (1, -1) \): \[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, -1) = 3(1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 \] 2. \( \frac{\partial f}{\partial y} \) em \( (1, -1) \): \[ \frac{\partial f}{\partial y}(1, -1) = -2(1) = -2 \] Portanto, o gradiente \( \nabla f(1, -1) = (5, -2) \). Agora, analisando as alternativas: A. \( f(1, -1) = 3 \) - Isso é verdadeiro, mas não é a resposta que procuramos. B. \( \nabla f(1, -1) = (1, -2) \) - Incorreto. C. \( \nabla f = (3x^2 - 2y, -2x) \) - Isso é a forma geral do gradiente, mas não é a resposta específica que procuramos. D. \( \nabla f(1, -1) = (5, -2) \) - Correto. E. \( \nabla f(1, -1) = (1, 2) \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: D. \( \nabla f(1, -1) = (5, -2) \).