Para determinar a base do subespaço vetorial \( G \) em \( \mathbb{R}^4 \) formado pelos vetores \( v = (x, y, z, w) \) que satisfazem as equações \( 2x - 3y - z + 4w = 0 \) e \( 3x + y + 2w = 0 \), precisamos resolver esse sistema de equações. 1. Escrevendo as equações: - \( 2x - 3y - z + 4w = 0 \) (Equação 1) - \( 3x + y + 2w = 0 \) (Equação 2) 2. Resolvendo o sistema: Vamos expressar \( x \), \( y \), \( z \) e \( w \) em termos de variáveis livres. Podemos escolher \( z \) e \( w \) como variáveis livres. Da Equação 2, isolamos \( y \): \[ y = -3x - 2w \] Substituindo \( y \) na Equação 1: \[ 2x - 3(-3x - 2w) - z + 4w = 0 \] \[ 2x + 9x + 6w - z + 4w = 0 \] \[ 11x + 10w - z = 0 \implies z = 11x + 10w \] 3. Expressando os vetores: Agora, podemos expressar \( (x, y, z, w) \) em termos de \( x \) e \( w \): \[ (x, y, z, w) = (x, -3x - 2w, 11x + 10w, w) \] Separando as variáveis livres: \[ = x(1, -3, 11, 0) + w(0, -2, 10, 1) \] 4. Base e dimensão: Portanto, uma base para \( G \) é dada pelos vetores \( (1, -3, 11, 0) \) e \( (0, -2, 10, 1) \). Assim, a dimensão do subespaço \( G \) é 2. Agora, analisando as alternativas: a) Não fornece a base. b) A base apresentada é correta e a dimensão é 2. c) A base apresentada não é correta. d) Existe um subespaço que atende às condições. e) Não fornece a base. A alternativa correta é: b. Uma base de G é {(2,-3,-1,4), (3,1,0,1)}, e a dimensão desse subespaço é 2.