Para calcular a integral da função \( f(x) = x^2 + 3 \) no intervalo \([1, 3]\) usando a regra dos retângulos à direita com \( n = 10 \), siga os passos abaixo: 1. Determine a largura dos retângulos: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{10} = 0,2 \] 2. Calcule os pontos de amostragem: Os pontos à direita são \( x_i = a + i \cdot \Delta x \) para \( i = 1, 2, \ldots, n \): - \( x_1 = 1 + 1 \cdot 0,2 = 1,2 \) - \( x_2 = 1 + 2 \cdot 0,2 = 1,4 \) - \( x_3 = 1 + 3 \cdot 0,2 = 1,6 \) - \( x_4 = 1 + 4 \cdot 0,2 = 1,8 \) - \( x_5 = 1 + 5 \cdot 0,2 = 2,0 \) - \( x_6 = 1 + 6 \cdot 0,2 = 2,2 \) - \( x_7 = 1 + 7 \cdot 0,2 = 2,4 \) - \( x_8 = 1 + 8 \cdot 0,2 = 2,6 \) - \( x_9 = 1 + 9 \cdot 0,2 = 2,8 \) - \( x_{10} = 1 + 10 \cdot 0,2 = 3,0 \) 3. Calcule os valores da função nos pontos: \[ f(x_i) = x_i^2 + 3 \] - \( f(1,2) = 1,44 + 3 = 4,44 \) - \( f(1,4) = 1,96 + 3 = 4,96 \) - \( f(1,6) = 2,56 + 3 = 5,56 \) - \( f(1,8) = 3,24 + 3 = 6,24 \) - \( f(2,0) = 4,00 + 3 = 7,00 \) - \( f(2,2) = 4,84 + 3 = 7,84 \) - \( f(2,4) = 5,76 + 3 = 8,76 \) - \( f(2,6) = 6,76 + 3 = 9,76 \) - \( f(2,8) = 7,84 + 3 = 10,84 \) - \( f(3,0) = 9,00 + 3 = 12,00 \) 4. Calcule a soma das áreas dos retângulos: \[ \text{Integral} \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x \] \[ \text{Integral} \approx (4,44 + 4,96 + 5,56 + 6,24 + 7,00 + 7,84 + 8,76 + 9,76 + 10,84 + 12,00) \cdot 0,2 \] \[ \text{Integral} \approx 77,40 \cdot 0,2 = 15,48 \] 5. Valor exato da integral: A integral exata de \( f(x) \) de 1 a 3 é: \[ \int_1^3 (x^2 + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x \right]_1^3 = \left( \frac{27}{3} + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 3 \right) = (9 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 3 \right) = 18 - \left( \frac{10}{3} \right) = \frac{54 - 10}{3} = \frac{44}{3} \approx 14,67 \] 6. Erro da aproximação: \[ \text{Erro} = |15,48 - 14,67| \approx 0,81 \] Portanto, a integral aproximada usando a regra dos retângulos à direita é \( 15,48 \) e o erro em relação ao valor exato é aproximadamente \( 0,81 \).