para achar a área vamos integrar no itervalo dado:
A= ∫cos^6xdx = ∫ {(1+cos2x)/2}^3dx = 1/8 ∫ (1+cos2x)^3dx =
1/8*[ ∫ (1 + 3cos2x + 3cos^2(2x) + cos^3(2x))dx] =
1/8*[ π + 3*-sen2x/2 + 3*∫(1+cos2x)/2dx + ∫ cos^3(2x)dx] =
1/8*[ π + 0 + 3/2*(π -sen2x/2) + ∫ cos^3(2x)dx] =
1/8*[ π + 0 + 3/2*(π -0) + ∫ (1- sen^2(2x))*cos2xdx]=
1/8*[ π + 3π/2 + ∫cos2xdx - ∫sen^2(2x))*cos2xdx] = seja u=sen2x; du=2*cos2xdx
1/8*[ π + 3π/2 -sen2x/2 - ∫u^2*du/2] =
1/8*[ π + 3π/2 - 0 -u^3/6] =
1/8*[ π + 3π/2 - sen^3(2x)/6] =
1/8*[ π + 3π/2 -0] = 1/8*[ π + 3π/2] = 5π/16
Para calcular a área pedida basta integrar a função dentro dos intervalos conhecidos
\(\int_{0}^{\pi} \! cos^6(x) \, dx \)
Essa integral é bem trabalhosa para resolver na mão
Mas como dica utilize a fórmula:
\(\int \! cos^m(x) \, dx = \frac{senx*cos^{m-1}(x)}{m}+ \frac{m-1}{m}* \int \! cos^{-2+m}(x) \, dx\)
Resolvendo essa integral teremos:
\(\int_{0}^{\pi} \! cos^6(x) \, dx = \frac{5}{16}\int_{0}^{\pi} \! 1 \, dx = \frac{5 \pi}{16} \)
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Cálculo Integral e Diferencial II
•UNIASSELVI
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