esboce e calcule a area no segundo quadrante limitada pelas parabolas y=×^2 e x=y^2-18​?

hfgjhghkuil

jhgkjghkghk

\[0\leq x\leq x_{\times}\]

\[x^2\leq y\leq \sqrt{x+18}\]

Onde \(x_\times\) é o ponto de intersecção entre as parábolas. Para continuar vamos então determinar esse ponto:

\[\begin{cases}y=x^2\\x=y^2-18\end{cases}\]

Substituindo a primeira na segunda, temos:

\[x_\times=x_\times^4-18\Rightarrow x_\times+18=x_\times^4\]

Essa equação não é simples de se resolver. Vamos integrar para ver o que obtemos:

\[A=\int_0^{x_\times}\sqrt{x+18}-x^2\,dx\]

Vamos separar a integral como uma soma de duas:

\[A=\int_0^{x_\times}\sqrt{x+18}dx-\int_0^{x_\times}x^2\,dx\]

Para a primeira, façamos \(u=x+18\Rightarrow du=dx\):

\[A=\int_{18}^{x_\times+18}u^{1/2}du-\int_0^{x_\times}x^2\,dx\]

Usemos agora a regra do tombo invertida:

\[A=\left[\dfrac23u^{3/2}\right]_{18}^{x_\times+18}-\left[\dfrac13x^3\right]_0^{x_\times}\]

\[A=\left[\dfrac23(x_\times+18)^{3/2}-\dfrac23\cdot18^{3/2}\right]-\left[\dfrac13x_\times^3\right]\]

Mas sabemos que \(x_\times+18=x_\times^4\):

\[A=\left[\dfrac23(x_\times^4)^{3/2}-\dfrac23\cdot18^{3/2}\right]-\left[\dfrac13x_\times^3\right]\]

\[A=\dfrac13\left[2x_\times^6-x_\times^3-2\cdot18^{3/2}\right]\]

\[A=\dfrac13\left[(x_\times^3+x_\times^3-1)x_\times^3-2\cdot18^{3/2}\right]\]

Mas da expressão já obtida para a intersecção:

\[(x_\times^3-1)x_\times=18\]

Então:

\[A=\dfrac13\left[\left(x_\times^3+\dfrac{18}{x_\times}\right)x_\times^3-2\cdot18^{3/2}\right]\]

\[A=\dfrac13\left(x_\times^6+18x_\times^2-2\cdot18^{3/2}\right)\]

Voltando à expressão da intersecção, temos:

\[x_\times=x_\times^4-18\Rightarrow x_\times^4-x_\times-18=0\]

Perceba que \(-2\) é raiz, de forma que:

\[x_\times^3(x_\times+2)-2x_\times^3-x_\times-18=0\]

\[x_\times^3(x_\times+2)-2x_\times^2(x_\times+2)+4x_\times^2-x_\times-18=0\]

\[x_\times^3(x_\times+2)-2x_\times^2(x_\times+2)+4x_\times(x_\times+2)-9x_\times-18=0\]

\[x_\times^3(x_\times+2)-2x_\times^2(x_\times+2)+4x_\times(x_\times+2)-9(x_\times+2)=0\]

\[(x_\times^3-2x_\times^2+4x_\times-9)(x_\times+2)=0\]

A raiz \(x=-2\) não nos importa visto que é negativa. Vamos determinar a que nos interessa:

\[x_\times^3-2x_\times^2+4x_\times-9=0\]

Nesse formato não temos fórmula fechada para determinar a raiz. Vamos fazer a transformação \(x_\times=w+\dfrac23\) para eliminar o termo de segundo grau:

\[\left(w+\dfrac23\right)^3-2\left(w+\dfrac23\right)^2+4\left(w+\dfrac23\right)-9=0\]

\[\left(w^3+2w^2+\dfrac43w+\dfrac8{27}\right)-2\left(w^2+\dfrac43w+\dfrac49\right)+4\left(w+\dfrac23\right)-9=0\]

\[w^3+\dfrac83w-\dfrac{187}{27}=0\]

Para a equação de terceiro grau nesse formato tem fórmula fechada:

\[w^3+pw+q=0\Rightarrow w=\sqrt[3]{-\dfrac{q}2+\sqrt{\dfrac{q^2}4+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}2-\sqrt{\dfrac{q^2}4+\dfrac{p^3}{27}}}\]

Substituindo nossos coeficientes, temos:

\[w=x_\times-\dfrac23=\sqrt[3]{-\dfrac{-\dfrac{187}{27}}2+\sqrt{\dfrac{\left(-\dfrac{187}{27}\right)^2}4+\dfrac{\left(\dfrac83\right)^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{-\dfrac{187}{27}}2-\sqrt{\dfrac{\left(-\dfrac{187}{27}\right)^2}4+\dfrac{\left(\dfrac83\right)^3}{27}}}\]

\[x_\times=\dfrac23+\sqrt[3]{\dfrac{187}{54}+\sqrt{\dfrac{34969}{2916}+\dfrac{512}{729}}}+\sqrt[3]{\dfrac{187}{54}-\sqrt{\dfrac{34969}{2916}+\dfrac{512}{729}}}\]

\[x_\times=\dfrac23+\sqrt[3]{\dfrac{187}{54}+\sqrt{\dfrac{34969+2048}{2916}}}+\sqrt[3]{\dfrac{187}{54}-\sqrt{\dfrac{34969+2048}{2916}}}\]

\[x_\times=\dfrac23+\sqrt[3]{\dfrac{187}{54}+\sqrt{\dfrac{37017}{2916}}}+\sqrt[3]{\dfrac{187}{54}-\sqrt{\dfrac{37017}{2916}}}\]

Utilizando uma calculadora, temos:

\[x_\times\approx2.11785\]

Substituindo na expressão da área já obtida, temos:

\[A=\dfrac13\left(x_\times^6+18x_\times^2-2\cdot18^{3/2}\right)\]

\[\boxed{A\approx 6,078}\]