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ache uma equação da reta tangente à curva dada, no ponto indicado.Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta normal . y = x^4 - 4x ; (0,0)

Cálculo IPUC-MINAS

6 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Tem-se a seguinte função:

\(\Longrightarrow y = x^4 - 4x\)


A inclinação da reta tangente à função é determinada pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = {d \over dx}(x^4 - 4x)\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = 4x^3 - 4\)


A inclinação da reta no ponto \((x=0;y=0)\) é:

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = 4(0)^3 - 4\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = -4\)


1) Sabendo que \({dy \over dx} = a_{tan}\), a função da reta tangente no ponto \((x=0;y=0)\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} =a_{tan}\cdot x+b_{tan}\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = -4x+b_{tan}\)


Já que \(y_{tan}\) passa pelo ponto \((x=0;y=0)\), o valor de \(b_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow 0 = -4\cdot 0+b_{tan}\)

\(\Longrightarrow b_{tan}=0\)


Portanto, a função completa de \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow \underline { y_{tan} = -4x }\)


2) A inclinação da reta normal à função \(y = x^4 - 4x\) no ponto \((x=0;y=0)\) é determinada pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow a_{nor} = -{1 \over a_{tan}}\)

\(\Longrightarrow a_{nor} = -{1 \over -4}\)

\(\Longrightarrow a_{nor} = {1 \over 4}\)


Portanto, a função da reta normal no ponto \((x=0;y=0)\) é:

\(\Longrightarrow y_{nor} =a_{nor}\cdot x+b_{nor}\)

\(\Longrightarrow y_{nor} ={1 \over 4} x+b_{nor}\)


Já que \(y_{nor}\) passa pelo ponto \((x=0;y=0)\), o valor de \(b_{nor}\) é:

\(\Longrightarrow 0 ={1 \over 4}\cdot 0+b_{nor}\)

\(\Longrightarrow b_{nor}=0\)


Portanto, a função completa de \(y_{nor}\) é:

\(\Longrightarrow \underline {y_{nor} ={1 \over 4} x }\)


Concluindo, as retas tangente e normal à função \(y = x^4 - 4x\) no ponto \((x=0;y=0)\) são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} y_{tan} = -4x \\ y_{nor} ={1 \over 4} x \end{matrix} \right. $}\)


Os esboços estão na figura a seguir:

Tem-se a seguinte função:

\(\Longrightarrow y = x^4 - 4x\)


A inclinação da reta tangente à função é determinada pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = {d \over dx}(x^4 - 4x)\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = 4x^3 - 4\)


A inclinação da reta no ponto \((x=0;y=0)\) é:

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = 4(0)^3 - 4\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = -4\)


1) Sabendo que \({dy \over dx} = a_{tan}\), a função da reta tangente no ponto \((x=0;y=0)\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} =a_{tan}\cdot x+b_{tan}\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = -4x+b_{tan}\)


Já que \(y_{tan}\) passa pelo ponto \((x=0;y=0)\), o valor de \(b_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow 0 = -4\cdot 0+b_{tan}\)

\(\Longrightarrow b_{tan}=0\)


Portanto, a função completa de \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow \underline { y_{tan} = -4x }\)


2) A inclinação da reta normal à função \(y = x^4 - 4x\) no ponto \((x=0;y=0)\) é determinada pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow a_{nor} = -{1 \over a_{tan}}\)

\(\Longrightarrow a_{nor} = -{1 \over -4}\)

\(\Longrightarrow a_{nor} = {1 \over 4}\)


Portanto, a função da reta normal no ponto \((x=0;y=0)\) é:

\(\Longrightarrow y_{nor} =a_{nor}\cdot x+b_{nor}\)

\(\Longrightarrow y_{nor} ={1 \over 4} x+b_{nor}\)


Já que \(y_{nor}\) passa pelo ponto \((x=0;y=0)\), o valor de \(b_{nor}\) é:

\(\Longrightarrow 0 ={1 \over 4}\cdot 0+b_{nor}\)

\(\Longrightarrow b_{nor}=0\)


Portanto, a função completa de \(y_{nor}\) é:

\(\Longrightarrow \underline {y_{nor} ={1 \over 4} x }\)


Concluindo, as retas tangente e normal à função \(y = x^4 - 4x\) no ponto \((x=0;y=0)\) são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} y_{tan} = -4x \\ y_{nor} ={1 \over 4} x \end{matrix} \right. $}\)


Os esboços estão na figura a seguir:

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Luan

Há mais de um mês

A reta de equação geral: y - f(p) = f'(p)(x - p), é por definição, a reta tangente ao gráfico de y = x^4 - 4x no ponto p = 0.

Mas,

f(p) = f(0) = 0^4 - 4(0) = 0

e

f'(p) = f'(0) = 4x^3 - 4 = 4(0)^3 - 4 = -4 (Deriva a equação dada e substitue x pelo ponto p)

 

Substituindo na equação geral da reta tangente, temos:

y - 0 = (-4)(x - 0)

y = -4x

Logo, a equação da reta tangente a função dada é y = -4x.

Espero ter ajudado!

 

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Evander

Há mais de um mês

Obrigado , ajudou sim !
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Thamis

Há mais de um mês

derivada de f(x)=2x2-4x+20 no ponto x0=5. alguem ai pra me ajudar a responder

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas