Questão resolvida - Dada a equação x²y³-5y³=x+6, encontre a equação da reta tangente no ponto (1,2) - reta tagente a uma curva - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dada a equação , encontre a equação da reta tangente no ponto x²y³ - 5y³ = x + 6
(2,-2).
 
Resolução:
 
A reta tangente a uma curva é dada por: y = f' x x + b( )
 é o coeficiente angular da reta tangente à curva , a função é dada implicitamente, f' x( ) f x( )
fazendo a derivada, temos:
 
x²y³ - 5y³ = x + 6 2xy³ + x 3y ⋅ y' - 15y ⋅ y' = 1→ 2 2 2
 
3x y ⋅ y' - 15y ⋅ y' = 1 - 2xy³ y' 3x y - 15y = 1 - 2xy³2 2 2 → 2 2 2
 
y' x, y =( )
1 - 2xy³
3x y - 15y2 2 2
Substituindo o ponto 2, -2 em f' x, y = y' x, y teremos o coeficiente angular da reta( ) ( ) ( )
tangente à curva nesse ponto;
 
y' 2, -2 = = = = = -( )
1 - 2 ⋅ 2 ⋅ -2 ³
3 2 -2 - 15 -2
( )
( )2( )2 ( )2
1 - 4 ⋅ -8
3 ⋅ 4 ⋅ 4 - 15 ⋅ 4
( ) 1 + 32
48 - 60
33
-12
11
4
 
 
y = - x + b, para encontrar o valor de b substituimos o ponto 2, -2 ;
11
4
( )
 
2 = - ⋅ -2 + b 2 = + b b = 2 - b = b = -
11
4
( ) →
22
4
→
11
2
→
4 - 11
2
→
7
2
 
Finalmente a reta tangente fica :
 
y = - x-
11
4
7
2
 
 
(Resposta )