Para encontrar a área entre as curvas \(y = 2x^2\) e \(y = 4 + x^2\) no intervalo de \(x = -2\) a \(x = 2\), precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. 1. Identificação das funções: - \(y_1 = 2x^2\) - \(y_2 = 4 + x^2\) 2. Comparação das funções: - Para \(x = 0\): \(y_1 = 0\) e \(y_2 = 4\) (então \(y_2\) está acima). - Para \(x = 1\): \(y_1 = 2\) e \(y_2 = 5\) (ainda \(y_2\) está acima). - Para \(x = -1\): \(y_1 = 2\) e \(y_2 = 5\) (novamente, \(y_2\) está acima). - Para \(x = 2\): \(y_1 = 8\) e \(y_2 = 8\) (as funções se igualam). Portanto, no intervalo de \(x = -2\) a \(x = 2\), a função \(y = 4 + x^2\) está sempre acima de \(y = 2x^2\). 3. Expressão da área: A área entre as curvas é dada pela integral da função superior menos a função inferior: \[ \text{Área} = \int_{-2}^{2} [(4 + x^2) - (2x^2)] \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \] 4. Análise das alternativas: - A) \(\int_{-2}^{2} [(2x^2) - (4 + x^2)] \, dx\) - Incorreta, pois a ordem está trocada. - B) \(\int_{-2}^{2} [(4 + x^2) - 2x^2] \, dx\) - Correta, pois representa a função superior menos a inferior. - C) \(\int_{-2}^{2} (4 + 3x^2) \, dx\) - Incorreta, não representa a diferença entre as curvas. - D) \(\int_{-2}^{2} 2x^2 \, dx\) - Incorreta, não considera a função superior. Portanto, a alternativa correta é: B) \(\int_{-2}^{2} [(4 + x^2) - 2x^2] \, dx\).