Vamos analisar passo a passo. A função dada é: \[ T(x,y,z) = r^2 - zy + z^2 \] Parece que "r" não foi definido, mas provavelmente é \( r^2 = x^2 + y^2 \) ou algo similar. Como não está claro, vou considerar que \( r^2 = x^2 + y^2 \) para seguir. Então: \[ T(x,y,z) = x^2 + y^2 - z y + z^2 \] Agora, vamos calcular as derivadas parciais relevantes: 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial T}{\partial x} = 2x \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial T}{\partial y} = 2y - z \] 3. Derivada parcial em relação a \( z \): \[ \frac{\partial T}{\partial z} = -y + 2z \] Agora, para o ponto \( P(1,3,2) \): - \(\frac{\partial T}{\partial x}(1,3,2) = 2 \times 1 = 2\) - \(\frac{\partial T}{\partial y}(1,3,2) = 2 \times 3 - 2 = 6 - 2 = 4\) - \(\frac{\partial T}{\partial z}(1,3,2) = -3 + 2 \times 2 = -3 + 4 = 1\) Agora, vamos analisar as afirmações: - OA: "A derivada parcial indica a variação da temperatura em relação à largura, mantendo a altura e o tempo fixos." Isso está correto, pois a derivada parcial em relação a \( x \) mede a variação da temperatura em relação à largura \( x \), mantendo \( y \) e \( z \) fixos. - OB: "A derivada parcial indica a variação do tempo em relação à temperatura, mantendo a largura e a altura fixas." Incorreto, derivada parcial mede variação da função (temperatura) em relação a uma variável, não o contrário. - OC: "Para \( P(1,3,2) \), temos que \(\frac{\partial T}{\partial z} = 12\). Ou seja, a variação da temperatura em relação ao tempo, mantendo a largura e a altura fixas, é de 12°C." Calculamos \(\frac{\partial T}{\partial z} = 1\), não 12. Incorreto. - OD: "Para \( P(1,3,2) \), temos que \(\frac{\partial T}{\partial y} = 12\). Ou seja, a variação da temperatura em relação à altura, mantendo a largura e tempo fixos, é de 12°C." Calculamos \(\frac{\partial T}{\partial y} = 4\), não 12. Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: OA