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Cálculo

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20:50 VOLTAR Questão 5 Quando uma região plana é girada em torno de uma reta no plano, ela dá origem a uma figura tridimensional conhecida como sólido de revolução. Esse processo, chamado de revolução, transforma a região plana em um objeto sólido com características específicas. A reta em torno da qual a região gira é denominada eixo de rotação. Este conceito é fundamental no estudo do cálculo integral, pois permite calcular volumes de sólidos complexos através da integração de funções que descrevem as regiões planas envolvidas. Com relação à representação do volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo X, limitado pela curva y = x², pelo eixo X e pelas retas x = 0 e X = 5, selecione a alternativa correta que apresenta esse resultado: A) V = 125л/3 U.V. B) V = 5π u.v. C) V = 625π u.v. D) V = 125π u.v. E) V = 25л U.V. < Anterior Próxima >
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Felipe Amarante

semana passada

Respostas

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semana passada

Vamos resolver passo a passo o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = x², o eixo x, e as retas x=0 e x=5, em torno do eixo x. O volume V é dado pela fórmula do sólido de revolução pelo método dos discos: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] Aqui, \( f(x) = y = x^2 \), \( a=0 \), \( b=5 \). Calculando: \[ V = \pi \int_0^5 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^5 x^4 dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^5 = \pi \cdot \frac{5^5}{5} = \pi \cdot \frac{3125}{5} = \pi \cdot 625 = 625\pi \] Portanto, o volume é \( 625\pi \) unidades de volume. A alternativa correta é: C) V = 625π u.v.

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