Claro! Vamos passo a passo para aplicar o método de Newton-Raphson na função \( f(x) = x^3 + 3.8x^2 - 8.6x - 24.4 \) com aproximação inicial \( x_0 = 3 \) e tolerância \( \varepsilon = 0 \) (normalmente, a tolerância é um valor pequeno, mas aqui vamos considerar o critério de parada baseado em zero para fins didáticos). Passo 1: Calcular a derivada da função \( f'(x) = 3x^2 + 2 \times 3.8 x - 8.6 = 3x^2 + 7.6x - 8.6 \) Passo 2: Definir a fórmula iterativa do método \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) Passo 3: Iterar até que o critério de parada seja satisfeito Como a tolerância é zero, o ideal é parar quando \( f(x_n) \) for exatamente zero ou quando a diferença entre \( x_{n+1} \) e \( x_n \) for muito pequena (prática comum). Exemplo das primeiras iterações: - Iteração 0: \( x_0 = 3 \) Calcular \( f(3) = 3^3 + 3.8 \times 3^2 - 8.6 \times 3 - 24.4 = 27 + 34.2 - 25.8 - 24.4 = 11 \) Calcular \( f'(3) = 3 \times 9 + 7.6 \times 3 - 8.6 = 27 + 22.8 - 8.6 = 41.2 \) Calcular \( x_1 = 3 - \frac{11}{41.2} \approx 3 - 0.267 = 2.733 \) - Iteração 1: \( x_1 = 2.733 \) Calcular \( f(2.733) \), \( f'(2.733) \) e \( x_2 \) da mesma forma. Passo 4: Repetir até convergir --- Resumo: - Escolha a aproximação inicial \( x_0 = 3 \) - Calcule \( f(x_n) \) e \( f'(x_n) \) - Atualize \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) - Pare quando \( |x_{n+1} - x_n| < \varepsilon \) ou \( f(x_{n+1}) \approx 0 \) Assim, o método de Newton-Raphson permite encontrar o zero positivo da função com a precisão desejada.