Vamos resolver passo a passo. Dado: - Variável aleatória X com densidade f(x) = kx², para 1 ≤ x ≤ 4. - Queremos encontrar k, depois calcular média, variância e probabilidades. 1. Encontrar k: A integral da densidade no intervalo deve ser 1: ∫₁⁴ k x² dx = 1 k ∫₁⁴ x² dx = 1 k [x³/3]₁⁴ = 1 k [(4³/3) - (1³/3)] = 1 k [(64/3) - (1/3)] = 1 k (63/3) = 1 k * 21 = 1 k = 1/21 ≈ 0,0476 2. Cálculo do valor esperado E(X): E(X) = ∫₁⁴ x * f(x) dx = ∫₁⁴ x * (1/21) x² dx = (1/21) ∫₁⁴ x³ dx = (1/21) [x⁴/4]₁⁴ = (1/21) [(256/4) - (1/4)] = (1/21) (255/4) = 255 / 84 ≈ 3,0357 3. Cálculo de E(X²): E(X²) = ∫₁⁴ x² * f(x) dx = ∫₁⁴ x² * (1/21) x² dx = (1/21) ∫₁⁴ x⁴ dx = (1/21) [x⁵/5]₁⁴ = (1/21) [(1024/5) - (1/5)] = (1/21) (1023/5) = 1023 / 105 ≈ 9,7429 4. Variância Var(X): Var(X) = E(X²) - [E(X)]² = 9,7429 - (3,0357)² ≈ 9,7429 - 9,215 = 0,5279 5. Probabilidade P(X < 2): P(X < 2) = ∫₁² f(x) dx = (1/21) ∫₁² x² dx = (1/21) [x³/3]₁² = (1/21) [(8/3) - (1/3)] = (1/21)(7/3) = 7/63 = 1/9 6. Probabilidade P(X > 3): P(X > 3) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - ∫₁³ f(x) dx ∫₁³ f(x) dx = (1/21) ∫₁³ x² dx = (1/21) [x³/3]₁³ = (1/21) [(27/3) - (1/3)] = (1/21)(26/3) = 26/63 Logo, P(X > 3) = 1 - 26/63 = 37/63 ≈ 0,5873 (não 8/9) --- Analisando as alternativas: A) k é igual a 63 → Errado, k = 1/21 B) O custo médio do produto é aproximadamente 1,04 → Errado, é ≈ 3,04 C) O custo é menor que 2 com probabilidade 1/9 → Correto D) A variância do custo do produto é aproximadamente 3,04 → Errado, é ≈ 0,53 E) O custo é maior do que 3 com probabilidade 8/9 → Errado, é ≈ 0,59 --- Resposta correta: C) O custo é menor que 2 com probabilidade 1/9.