Vamos resolver passo a passo. Dados: - Potência \( P = 120 \, kW = 120.000 \, W \) - Rotação \( n = 2000 \, rpm \) - Diâmetro externo \( d_o = 62,5 \, mm = 0,0625 \, m \) - Tensão de cisalhamento admissível \( \tau_{adm} = 50 \, MPa = 50 \times 10^6 \, Pa \) --- Passo 1: Calcular o torque \( T \) transmitido pelo eixo A potência é dada por: \[ P = T \cdot \omega \] onde \(\omega\) é a velocidade angular em rad/s: \[ \omega = \frac{2 \pi n}{60} = \frac{2 \pi \times 2000}{60} = \frac{4000 \pi}{60} \approx 209,44 \, rad/s \] Logo, \[ T = \frac{P}{\omega} = \frac{120.000}{209,44} \approx 573,1 \, Nm \] --- Passo 2: Relação da tensão de cisalhamento para um tubo de parede fina Para um tubo de diâmetro externo \( d_o \) e diâmetro interno \( d_i \), o momento de inércia polar \( J \) é: \[ J = \frac{\pi}{32} (d_o^4 - d_i^4) \] A tensão de cisalhamento máxima é: \[ \tau = \frac{T \cdot c}{J} \] onde \( c = \frac{d_o}{2} \) é o raio externo. --- Passo 3: Definir a espessura da parede A espessura da parede é: \[ t = \frac{d_o - d_i}{2} \] Queremos encontrar \( t \). --- Passo 4: Substituir \( d_i = d_o - 2t \) e reorganizar a fórmula da tensão \[ \tau = \frac{T \cdot \frac{d_o}{2}}{\frac{\pi}{32} (d_o^4 - (d_o - 2t)^4)} = \frac{16 T d_o}{\pi (d_o^4 - (d_o - 2t)^4)} \] Queremos que \(\tau \leq \tau_{adm}\), então: \[ \tau_{adm} = \frac{16 T d_o}{\pi (d_o^4 - (d_o - 2t)^4)} \] Rearranjando para encontrar \( t \): \[ d_o^4 - (d_o - 2t)^4 = \frac{16 T d_o}{\pi \tau_{adm}} \] --- Passo 5: Calcular o lado direito \[ \frac{16 T d_o}{\pi \tau_{adm}} = \frac{16 \times 573,1 \times 0,0625}{\pi \times 50 \times 10^6} = \frac{573,1}{\pi \times 50 \times 10^6 / (16 \times 0,0625)} \] Calculando numerador: \[ 16 \times 573,1 \times 0,0625 = 16 \times 35,82 = 573,1 \] Então: \[ \frac{16 T d_o}{\pi \tau_{adm}} = \frac{573,1}{\pi \times 50 \times 10^6} \approx \frac{573,1}{157.08 \times 10^6} = 3,65 \times 10^{-6} \, m^4 \] --- Passo 6: Aproximação para parede fina Para parede fina, \( t \ll d_o \), podemos usar a aproximação: \[ d_o^4 - (d_o - 2t)^4 \approx 4 d_o^3 \times 2t = 8 d_o^3 t \] Então: \[ 8 d_o^3 t = 3,65 \times 10^{-6} \] \[ t = \frac{3,65 \times 10^{-6}}{8 \times (0,0625)^3} = \frac{3,65 \times 10^{-6}}{8 \times 0,000244} = \frac{3,65 \times 10^{-6}}{0,001952} \approx 0,00187 \, m = 1,87 \, mm \] --- Resposta final: A espessura mínima da parede do eixo deve ser aproximadamente 1,87 mm.