Vamos analisar a função vetorial dada: F(t) = (2t sen t, ln t, t cos t), com t > 0. Sejam: x = 2t sen t y = ln t z = t cos t Queremos encontrar a equação da trajetória da curva, ou seja, uma relação entre x, y e z que elimine o parâmetro t. Passo 1: Expressar t em função de y: y = ln t ⇒ t = e^y Passo 2: Substituir t em x e z: x = 2t sen t = 2 e^y sen(e^y) z = t cos t = e^y cos(e^y) Passo 3: Observar que x e z dependem de e^y multiplicado por funções trigonométricas de e^y. Agora, note que: x² = (2 e^y sen(e^y))² = 4 e^{2y} sen²(e^y) z² = (e^y cos(e^y))² = e^{2y} cos²(e^y) Somando: x² - 4 e^{2y} sen²(e^y) = 0 z² - e^{2y} cos²(e^y) = 0 Mas isso não ajuda diretamente. Outra forma é tentar montar a expressão: x² - 4 e^{2y} sen²(e^y) + 4 z² - 4 e^{2y} cos²(e^y) = ? Note que: 4 z² = 4 e^{2y} cos²(e^y) Somando: x² - 4 e^{2y} sen²(e^y) + 4 z² - 4 e^{2y} cos²(e^y) = x² + 4 z² - 4 e^{2y} (sen²(e^y) + cos²(e^y)) = x² + 4 z² - 4 e^{2y} * 1 = x² + 4 z² - 4 e^{2y} Rearranjando: x² - 4 e^{2y} + 4 z² = 0 Como e^{2y} = (e^y)^2, e^y = t, e^{2y} = t². Portanto, a equação da trajetória é: x² - 4 e^{2y} + 4 z² = 0 Comparando com as alternativas, a alternativa A é: A) x² - 4 e² y + 4 z² = 0 Aqui, "e² y" provavelmente representa e^{2y}. Logo, a alternativa correta é a letra A. Resposta: a) x² - 4 e^{2y} + 4 z² = 0.